JavaScript is required

Câu hỏi:

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi tâm \[O\], đường thẳng \[SO\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]. Biết \(BC = SB = a,SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tìm số đo của góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) (làm tròn kết quả đến đơn vị độ).

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $CD = BC = a$.
Xét $\Delta SBC$ và $\Delta SDC$ có: $SC$ chung, $SB = SD = a$, $BC = DC = a$ suy ra $\Delta SBC = \Delta SDC$ (c.c.c).
Suy ra $\widehat{SBC} = \widehat{SDC}$. Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên $SM$. Khi đó $BH \perp SM$.
Ta có $CD \perp OM$ và $CD \perp SO$ (vì $SO \perp (ABCD)$) suy ra $CD \perp (SOM)$ suy ra $CD \perp SM$.
Do đó $CD \perp (SBM)$. Suy ra $CD \perp BH$.
Ta có $BH \perp SM$, $BH \perp CD$ suy ra $BH \perp (SCD)$.
Suy ra góc giữa $SB$ và $(SCD)$ là $\widehat{BSH}$.
Vì $O$ là tâm hình thoi nên $OB = OC$. Xét $\Delta OBC$ có $OB = OC$ và $BC = a$ suy ra $\Delta OBC$ là tam giác đều, suy ra $\widehat{BOC} = 60^\circ$.
Suy ra $\widehat{BOM} = 120^\circ$ (vì $\widehat{BOC} + \widehat{COM} = 180^\circ$).
Ta có $BM = \sqrt{BC^2 + CM^2 - 2BC.CM.cos\widehat{BCM}} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4} - 2.a.\frac{a}{2}.cos120^\circ} = \frac{a\sqrt 7}{2}$.
Xét $\Delta SOB$ vuông tại $O$ có $SB = a$ và $SO = \frac{a\sqrt 6}{3}$ suy ra $OB = \sqrt{SB^2 - SO^2} = \sqrt{a^2 - \frac{6a^2}{9}} = \frac{a\sqrt 3}{3}$.
Xét $\Delta SBM$ có $\frac{1}{BH^2} = \frac{1}{SB^2} + \frac{1}{BM^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{4}{7a^2} = \frac{11}{7a^2}$ suy ra $BH = a\sqrt{\frac{7}{11}}$.
Xét $\Delta SBH$ vuông tại $H$ có $sin\widehat{BSH} = \frac{BH}{SB} = \frac{a\sqrt{\frac{7}{11}}}{a} = \sqrt{\frac{7}{11}}$. Suy ra $\widehat{BSH} \approx 45^\circ$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan