Câu hỏi:

a) ĐÚNG.

$y' = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x + 5)}{(x + 1)^2}$

$= \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}$

b) SAI.

$y' = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ x = -3 \end{cases}$

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A(1; 4)$; $B(-3; -4)$.

Gọi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng $y = ax + b$.

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} a + b = 4 \\ -3a + b = -4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = 2 \end{cases}$

Phương trình đường thẳng $AB$ là $y = 2x + 2$.

c) ĐÚNG.

$y = x + 1 + \frac{4}{x + 1}$

$\lim_{x \to \pm\infty} (y - (x + 1)) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x + 1} = 0.$

$\Rightarrow y = x + 1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) ĐÚNG.

Đồ thị của hàm số có hình vẽ như sau:

Vì $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt nên hàm số hàm số $y = f(x)$ có ba điểm cực trị.

Do đó:

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía của trục hoành là sai.

Hàm số $y = f(x)$ chỉ có hai điểm cực trị là sai.

Vì trên $(-\infty; 2)$ thì $f'(x)$ có thể nhận cả dấu âm và dương nên: hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 2)$ là sai

Vì trên $(1; 3)$ thì $f'(x)$ chỉ mang dấu dương nên Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; 3)$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $h'(x) = -\frac{1}{440\,000}x^2 + \frac{9}{1\,760}x - \frac{81}{44}$

$h'(x) = 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{440\,000}x^2 + \frac{9}{1\,760}x - \frac{81}{44} = 0 \Leftrightarrow x = 450 \text{ hoặc } x = 1\,800$.

Mà $x \in [1\,000; 2\,000]$ nên $x = 1\,800$.

Bảng biến thiên:

Vậy đỉnh của lát cắt dãy núi cao $1\,392 \text{ m}$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và tam giác $BDE$ vuông tại $E$, ta có:

$\cot B = \frac{BE}{DE} = \frac{BC}{AC} \Leftrightarrow BE.AC = DE.BC$

$\Leftrightarrow (BC - 0,5)AC = 4BC \Leftrightarrow BC = \frac{0,5AC}{AC - 4}.$

Mặt khác, theo định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ ta có:

$AB^2 = AC^2 + \frac{0,25AC^2}{(AC - 4)^2}.$

Xét hàm số $f(x) = x^2 + \frac{0,25x^2}{(x - 4)^2}$ với $x \in (4; +\infty)$ ta có:

$f'(x) = 2x - \frac{2x^2 - 8x}{(x - 4)^4}.$

Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 4 \\ x = 5 \end{cases}$

Loại $x = 0, x = 4$.

Khi đó, ta có:

$\min_{x \in (4;+\infty)} f(x) = f(5) = \frac{125}{4}$.

Vậy độ dài $AB$ nhỏ nhất là $AB = \frac{5\sqrt{5}}{2} \approx 5,5902$ (m).

Giả sử nước muối bơm vào có nồng độ $a$ gam/lít.

Sau $t$ phút, ta có khối lượng muối trong bể là $20at$ (gam).

Thể tích của lượng nước trong bể sau $t$ phút là $2000 + 20t$ (lít).

Vậy nồng độ muối sau $t$ phút là:

$f(t) = \frac{20at}{2000 + 20t} = \frac{at}{100 + t}$ (gam/lít)

$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{at}{100 + t} = a$ nên đồ thị hàm số $y = f(t)$ có phương trình tiệm

cận ngang là $y = a = 10$.

Từ đó hàm số nồng độ muối trong bể sau khi bơm được $t$ phút là $f(t) = \frac{10t}{100 + t}$.

Nồng độ muối sau 1 giờ bơm là $f(60) = \frac{10 \cdot 60}{100 + 60} = 3,75$ gam/lít.