Câu hỏi:

Ta có:

• $\overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$, $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'}$. Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{CC'}$. Vậy $\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {BC'}$. Do đó, a) đúng.


• $\left|\overrightarrow{BD}\right| = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. $\left|\overrightarrow{CD'}\right| = \sqrt{CD^2 + DD'^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. Vậy $\left| {\overrightarrow {BD} } \right| \ne \left| {\overrightarrow {CD'} } \right|$. Do đó, b) sai.


• $\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{CA'} + 2\overrightarrow{C'C} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{CA'} + 2\overrightarrow{C'C} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{CC'} + 2\overrightarrow{C'C} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{CC'} - 2\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{0}$. Vậy c) đúng.


• $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{A'B'} = 0$ vì $\overrightarrow{AD} \perp \overrightarrow{A'B'}$. Do đó, d) sai.

a) $\vec{GI} + \vec{JG} = 0$.

* Phân tích: Ta có thể viết lại tổng này thành $\vec{GI} + \vec{JG} = \vec{JG} + \vec{GI}$.

* Theo quy tắc ba điểm (phép cộng vector), $\vec{JG} + \vec{GI}$ không bằng $0$ trừ khi $I$ và $J$ trùng nhau (điều này không xảy ra với tứ diện thông thường) hoặc $\vec{JG} = -\vec{GI}$.

* Trong tổng $\vec{GI} + \vec{JG}$, các điểm $I$ và $J$ không liên kế để tạo thành $\vec{IJ}$ hay $\vec{JI}$.

* Quan sát lại Khẳng định: Nếu khẳng định là $\vec{GI} + \vec{IG} = 0$ (luôn đúng) hoặc $\vec{GJ} + \vec{GI} = 0$ (chỉ đúng nếu $I \equiv J$), hoặc $\vec{GI} + \vec{IJ} = \vec{GJ}$.

* Với $\vec{GI} + \vec{JG}$, ta có $\vec{GI} + \vec{JG} = \vec{GI} - \vec{GJ} = \vec{JG} + \vec{GI}$.

* Vì $G$ là trung điểm của $IJ$, nên $\vec{GI}$ và $\vec{GJ}$ là hai vector đối nhau: $\vec{GI} = -\vec{GJ}$ hay $\vec{GI} + \vec{GJ} = 0$.

* Vậy, $\vec{GI} + \vec{JG} = \vec{GI} + \vec{GI} = 2\vec{GI}$.

* Do $\vec{GI} \neq 0$, nên $\vec{GI} + \vec{JG} \neq 0$.

* Kết luận: Khẳng định Sai.

b) $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{IJ}.$

- Phân tích:

- Ta sử dụng quy tắc xen điểm $I$ và $J$ (trung điểm của $AB$ và $CD$) vào các vector:

$\vec{AC} = \vec{AI} + \vec{IJ} + \vec{JC}$ (1)

$\vec{BD} = \vec{BI} + \vec{IJ} + \vec{JD}$ (2)

- Cộng (1) và (2) vế theo vế:

$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AI} + \vec{BI}) + 2\vec{IJ} + (\vec{JC} + \vec{JD})$

- Vì $I$ là trung điểm của $AB$: $\vec{AI} + \vec{BI} = 0$.

- Vì $J$ là trung điểm của $CD$: $\vec{JC} + \vec{JD} = 0$.

- Do đó: $\vec{AC} + \vec{BD} = 0 + 2\vec{IJ} + 0 = 2\vec{IJ}.$

- Kết luận: Khẳng định Đúng.

c) $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = 0$.

*   Phân tích:

    *   $I$ là trung điểm của $AB \implies \vec{GA} + \vec{GB} = 2\vec{GI}$.

    *   $J$ là trung điểm của $CD \implies \vec{GC} + \vec{GD} = 2\vec{GJ}$.

    *   Cộng hai vế:

        $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = 2\vec{GI} + 2\vec{GJ} = 2(\vec{GI} + \vec{GJ})$

    *   $G$ là trung điểm của $IJ \implies \vec{GI}$ và $\vec{GJ}$ là hai vector đối nhau, tức là $\vec{GI} + \vec{GJ} = 0$.

    *   Vậy: $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = 2(0) = 0$.

*   Lưu ý: Điểm $G$ thỏa mãn tính chất này chính là trọng tâm của tứ diện $ABCD$.

*   Kết luận: Khẳng định Đúng.

d) $|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}|$ nhỏ nhất khi $M \equiv G$.

* Phân tích:

* Chèn điểm $G$ (trọng tâm của tứ diện) vào biểu thức:

$\vec{MA} = \vec{MG} + \vec{GA}$

$\vec{MB} = \vec{MG} + \vec{GB}$

$\vec{MC} = \vec{MG} + \vec{GC}$

$\vec{MD} = \vec{MG} + \vec{GD}$

* Cộng 4 đẳng thức:

$\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = 4\vec{MG} + (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD})$

* Theo kết quả ở câu c), ta có $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = 0$.

* Vậy: $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = 4\vec{MG}$.

* Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của:

$\left| \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} \right| = \left| 4\vec{MG} \right| = 4\left| \vec{MG} \right| = 4MG$

* Độ dài $4MG$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài $MG$ nhỏ nhất.

* $MG$ nhỏ nhất bằng 0 khi điểm $M$ trùng với điểm $G$ ($M \equiv G$).

* Kết luận: Khẳng định Đúng.

Ta có $g'(x) = f'(x) + 1$.

Hàm số $g(x)$ đạt cực tiểu khi $g'(x) = 0$ và $g'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương.

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) + 1 = 0 \Leftrightarrow f'(x) = -1$.

Dựa vào đồ thị, ta thấy $f'(x) = -1$ tại $x = -1$ và $x = 1$.

Xét dấu của $g'(x)$:

• Khi $x < -1$, $f'(x) < -1 \Rightarrow g'(x) = f'(x) + 1 < 0$


• Khi $-1 < x < 1$, $f'(x) > -1 \Rightarrow g'(x) = f'(x) + 1 > 0$


• Khi $x > 1$, $f'(x) > -1 \Rightarrow g'(x) = f'(x) + 1 > 0$

Vậy, $g'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x = 1$, và $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$.

1. Tìm điểm cực trị

*   Đạo hàm: $f'(x) = e^x (x^2 + 2x - 3)$

   Điểm tới hạn: Cho $f'(x) = 0$, ta được $x^2 + 2x - 3 = 0$, có các nghiệm là $x = -3$ và $x = 1$.

   Điểm xét trên đoạn $[-5; -2]$: Chỉ có $x = -3$ thuộc đoạn này.

2. Tính giá trị hàm số tại các điểm cần thiết

Ta tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút và điểm cực trị $x = -3$:

   Tại $x = -5$: $f(-5) = e^{-5} (25 - 3) = \frac{22}{e^5}$

   Tại $x = -3$: $f(-3) = e^{-3} (9 - 3) = \frac{6}{e^3}$

   Tại $x = -2$: $f(-2) = e^{-2} (4 - 3) = \frac{1}{e^2}$

3. Xác định Giá trị lớn nhất $M$

* So sánh các giá trị $\frac{22}{e^5}$, $\frac{6}{e^3}$ và $\frac{1}{e^2}$.

* Ta có $\frac{6}{e^3} = \frac{6 \cdot e^2}{e^5}$. Vì $e^2 \approx 7.389$, nên $6e^2 \approx 44.334$.

* Do $44.334 > 22$, suy ra $\frac{6e^2}{e^5} > \frac{22}{e^5}$.

* Ta có $\frac{6}{e^3} = \frac{6}{e} \cdot \frac{1}{e^2}$. Vì $6 > e$, suy ra $\frac{6}{e} > 1$, do đó $\frac{6}{e^3} > \frac{1}{e^2}$.

Giá trị lớn nhất là:

$M = \max \left\{ \frac{22}{e^5}, \frac{6}{e^3}, \frac{1}{e^2} \right\} = \frac{6}{e^3}$

4. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b$

Giá trị lớn nhất có dạng $M = \frac{a}{e^b}$.

Ta có $M = \frac{6}{e^3}$.

Suy ra:

* $a = 6$

* $b = 3$

Giá trị của biểu thức $P$ là: \(P=6+3=9\)

Ta có $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'}$ và $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'}$.

Khi đó:

$\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'}).(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'}) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{CC'}$

Vì $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BC} = 0$.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{BC}|.cos(120^\circ) = a.a.(-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$

$\overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{CC'} = |\overrightarrow{BB'}|.|\overrightarrow{CC'}|.cos(0^\circ) = a\sqrt{2}.a\sqrt{2}.1 = 2a^2$

Do đó $\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'} = -\frac{a^2}{2} + 2a^2 = \frac{3a^2}{2}$

Mặt khác:

$|\overrightarrow{AB'}| = \sqrt{AB^2 + BB'^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

$|\overrightarrow{BC'}| = \sqrt{BC^2 + CC'^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow cos(\overrightarrow{AB'}, \overrightarrow{BC'}) = \frac{\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{BC'}}{|\overrightarrow{AB'}|.|\overrightarrow{BC'}|} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{a\sqrt{3}.a\sqrt{3}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{3a^2} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (\overrightarrow{AB'}, \overrightarrow{BC'}) = 60^\circ$.