Câu hỏi:

\(\overrightarrow{A B}=(2 ; 1 ; 1), \overrightarrow{A C}=(1 ;-1 ;-2), \overrightarrow{A D}=(3 ; 0 ; d-4) \Rightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=(-1 ; 5 ;-3)\)

Muốn bộ đèn hoạt động tốt thì \(A, B, C, D\) phải đồng phẳng

\(\Leftrightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}=0 \Leftrightarrow 3 \cdot(-1)+0 \cdot 5+(d-4) \cdot(-3)=0 \Leftrightarrow d=3.\)

Gọi \(A\) là biến cố: "Bông hoa bé Hường hái mang câu đố về toán học".

Gọi \(B\) là biến cố: "Bông hoa bé Lan hái mang câu đố về toán học".

Ta có: \(P(A)=\frac{6}{10}=0,6 \Rightarrow P(\overline{A})=0,4 ; P(B \mid A)=\frac{5}{9} ; P(B \mid \overline{A})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P(B)=P(A) P(B \mid A)+P(\overline{A}) P(B \mid \overline{A})=0,6 \cdot \frac{5}{9}+0,4 \cdot \frac{2}{3}=\frac{3}{5}\)

Ta có: \(g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x+m) ; g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x+m=-1 \\ x+m=1 \\ x+m=3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-m-1 \\ x=-m+1 \\ x=-m+3\end{array}\right.\right.\)

Bảng xét dấu của \(g^{\prime}(x)\) như sau:

Hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((1 ; 2)\) khi \(\left[\begin{array}{l}2 \leq-m-1 \\ 1-m \leq 1<2 \leq 3-m\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m \leq-3 \\ 0 \leq m \leq 1\end{array}\right.\right.\).

Do đó \(S=\{-5 ;-4 ;-3 ; 0 ; 1\}\).

Xét hàm số \(g(x)=f\left(x^{2}-2 x+m\right) \Rightarrow y=f\left(x^{2}-2|x|+m\right)=g(|x|)\) có đúng 9 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số \(g(x)\) có đúng 4 điểm cực trị dương.

Từ đồ thị hàm số \(y=f^{\prime}(x)\) ta có: \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-2 \\ x=-1 \ x=1 \\ x=2\end{array}\right.\) trong đó \(x=2\) là nghiệm bội chẵn.

Khi đó, \(g^{\prime}(x)=2(x-1) f^{\prime}\left(x^{2}-2 x+m\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ f^{\prime}\left(x^{2}-2 x+m\right)=0\end{array}\right.\)

Xét \(f^{\prime}\left(x^{2}-2 x+m\right)=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}x^{2}-2 x+m=-2 \\ x^{2}-2 x+m=-1 \\ x^{2}-2 x+m=1\end{array}\right.\) (loại từ nghiệm của phương trình \(x^{2}-2 x+m=2\) là bội chẵn)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-m=x^{2}-2 x+2 \\ -m=x^{2}-2 x+1 \\ -m=x^{2}-2 x-1\end{array}\right.(*)\)

Vậy hàm số \(g(x)\) có đúng 4 điểm cực trị dương \(\Leftrightarrow\) (*) có đúng 3 nghiệm (đơn hoặc bội lẻ) dương khác 1. Vẽ ba đường cong parabol \(\left(P_{1}\right): y=x^{2}-2 x+2 ;\left(P_{2}\right): y=x^{2}-2 x+1 ;\left(P_{3}\right): y=x^{2}-2 x-1\) trên cùng một hệ trục tọa độ như hình

Yêu cầu bài toán tương đương với đường thẳng \(y=-m\) cắt \(\left(P_{1}\right),\left(P_{2}\right),\left(P_{3}\right)\) tại đúng 3 điểm (không có điểm nào tiếp xúc) có hoành độ dương khác 1\( \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-m \geq 2 \\ 0<-m<1\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m \leq-2 \\ -1<m<0\end{array}\right.\right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}, m \in[-10 ; 10] \Rightarrow m \in\{-10 ;-9 ; \ldots ;-4 ;-3 ;-2\}\).

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là \(-54\).

Chọn \(a=1\) ta có hệ trục tọa độ \(O x y z\) sao cho \(D(0 ; 0 ; 0), A^{\prime}(1 ; 0 ; 1), K\left(0 ; 0 ; \frac{1}{2}\right)\) và \(C(0 ; 1 ; 0)\)

Ta có \(\overrightarrow{D A^{\prime}}=(1 ; 0 ; 1) ; \overrightarrow{C K}\left(0 ;-1 ; \frac{1}{2}\right)\) và \(\overrightarrow{D K}\left(0 ; 0 ; \frac{1}{2}\right)\)

Ta có \(\left[\overrightarrow{D A^{\prime}}, \overrightarrow{C K}\right]=\left(1 ;-\frac{1}{2} ;-1\right),\left[\overrightarrow{D A^{\prime}}, \overrightarrow{C K}\right] \cdot \overrightarrow{D K}=-\frac{1}{2}\)

Do đó \(d\left(D A^{\prime}, C K\right)=\frac{\left|-\frac{1}{2}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{3}\). Vậy \(d\left(D A^{\prime}, C K\right)=\frac{a}{3}\).