Câu hỏi:

Từ bảng biến thiên, ta thấy trục hoành (đường thẳng y = 0) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 4  điểm.

Ta có: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BM}$

• $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{a}$


• $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{b}$


• $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

Do đó: $\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$.

* Phân tích: Ta quan sát phần đồ thị khi $x$ tăng từ 2 về phía $+\infty$. Đồ thị đi lên (giá trị $y$ tăng).

* Kết luận: Khẳng định này là ĐÚNG.

(Hàm số đồng biến trên khoảng mà đạo hàm $f'(x) > 0$).

b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$; đạt cực tiểu tại $x = 2$.

* Phân tích:

* Tại $x = 0$, hàm số đạt giá trị lớn nhất cục bộ là $y = 2$. Đây là điểm cực đại của hàm số.

* Tại $x = 2$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất cục bộ là $y = -2$. Đây là điểm cực tiểu của hàm số.

* Kết luận: Khẳng định này là ĐÚNG.

c) Trên đoạn $[0; 2]$, giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 0.

* Phân tích: Ta xét phần đồ thị trên đoạn $x \in [0; 2]$.

* Giá trị lớn nhất (max) của hàm số trên đoạn này là giá trị cực đại, đạt được tại $x = 0$.

$\max_{x \in [0;2]} f(x) = f(0) = 2$

$\min_{x \in [0;2]} f(x) = f(2) = -2$

* Giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số trên đoạn này là giá trị cực tiểu, đạt được tại $x = 2$

Khẳng định nói rằng giá trị lớn nhất bằng 0, điều này là sai.

* Kết luận: Khẳng định này là SAI. (Giá trị lớn nhất là 2).

d) Phương trình $3f(x) + 4 = 0$ có 3 nghiệm.

* Phân tích: Ta biến đổi phương trình về dạng $f(x) = $ hằng số:

$3f(x) + 4 = 0 \Leftrightarrow 3f(x) = -4 \Leftrightarrow f(x) = -\frac{4}{3}$

* Số nghiệm của phương trình $f(x) = -\frac{4}{3}$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng ngang $y = -\frac{4}{3}$.

*   Xác định vị trí của đường thẳng $y = -\frac{4}{3}$:

    $-\frac{4}{3} \approx -1,33$

    Ta thấy giá trị $-\frac{4}{3}$ nằm giữa giá trị cực đại (2) và giá trị cực tiểu (–2):

    $-2 < -\frac{4}{3} < 2$

*   Kết luận: Đường thẳng $y = -\frac{4}{3}$ cắt đồ thị $y = f(x)$ tại $\textbf{3 điểm phân biệt}$. Do đó, phương trình có 3 nghiệm. Khẳng định này là ĐÚNG.

Xét hàm số $y = \frac{2x-1}{x+1}$.

• Ta có: $y' = \frac{2(x+1) - (2x-1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0$ với mọi $x \neq -1$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$. Do đó, phát biểu a) sai.


• Vì hàm số đồng biến trên các khoảng xác định nên hàm số không có cực trị. Phát biểu b) đúng.


• Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = -1$, tiệm cận ngang là $y = 2$. Phát biểu c) đúng.


• $y' = \frac{3}{(x+1)^2}$. Để tiếp tuyến song song với $y=x$ thì $y' = 1$ hay $\frac{3}{(x+1)^2} = 1 \Leftrightarrow (x+1)^2 = 3 \Leftrightarrow x+1 = \pm \sqrt{3} \Leftrightarrow x = -1 \pm \sqrt{3}$. Vậy $k = -1 + \sqrt{3} + (-1 - \sqrt{3}) = -2$. $-2$ không phải là số chính phương. Phát biểu d) sai.

Ta có:

• $\overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$, $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'}$. Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{CC'}$. Vậy $\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {BC'}$. Do đó, a) đúng.


• $\left|\overrightarrow{BD}\right| = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. $\left|\overrightarrow{CD'}\right| = \sqrt{CD^2 + DD'^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. Vậy $\left| {\overrightarrow {BD} } \right| \ne \left| {\overrightarrow {CD'} } \right|$. Do đó, b) sai.


• $\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{CA'} + 2\overrightarrow{C'C} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{CA'} + 2\overrightarrow{C'C} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{CC'} + 2\overrightarrow{C'C} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{CC'} - 2\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{0}$. Vậy c) đúng.


• $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{A'B'} = 0$ vì $\overrightarrow{AD} \perp \overrightarrow{A'B'}$. Do đó, d) sai.