Câu hỏi:

Ta có: $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$.
Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$.
Vậy $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$

Độ dài vectơ $-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ là: $|-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}| = |-\frac{1}{2}|.|\overrightarrow{BC}| = \frac{1}{2}.BC = \frac{1}{2}.4 = 2$.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cosC$
Thay số: $c^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{2}{3} = 16 + 36 - 32 = 20$
Suy ra: $c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Ta có: $\overrightarrow{y} = -4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = -2(2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = -2\overrightarrow{x}$.
Vì $\overrightarrow{y} = -2\overrightarrow{x}$ nên $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

Ta có $\widehat{A} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$.
Áp dụng định lý sin:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$
$\Rightarrow a = \dfrac{b \sin A}{\sin B} = \dfrac{4 \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \dfrac{4 \cdot \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \dfrac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2(3\sqrt{2} + \sqrt{6})}{3} = 2\sqrt{2} + \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
Có vẻ như không đáp án nào đúng. Tuy nhiên, có thể có lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Giả sử $\widehat{C} = 60^\circ$ thì $\widehat{A} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Khi đó tam giác ABC là tam giác đều và a = b = 4, không có đáp án nào đúng.
Nếu đề là $\widehat{B}=45^\circ$ và $\widehat{C}=60^\circ$ thì $\widehat{A}=75^\circ$ và $\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}$ suy ra $a = \dfrac{4 sin75}{sin45} = \dfrac{4 \cdot \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3} \cdot 2 + 2 = 2 + 2\sqrt{3}$ không có đáp án nào đúng.
Nếu $\widehat{A}=60^\circ, \widehat{C}=45^\circ$ thì $\widehat{B}=75^\circ$. Khi đó $\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{a}{sinA}$ suy ra $a = \dfrac{4sin60}{sin75} = \dfrac{4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \dfrac{8\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \dfrac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2(3\sqrt{2} - \sqrt{6}) = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$, không có đáp án nào đúng.
Nếu b=6 thì $a = \dfrac{6 \sin 75}{\sin 60} = \dfrac{6 \cdot \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{3}} = 3(\sqrt{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}) = 3(\sqrt{2} + \sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$.