Cân nặng của 35 người trưởng thành tại một khu dân cư được cho như sau:

43 51 47 62 48 40 50

62 53 56 40 4 56 53

50 42 55 52 48 46 45

54 52 50 47 44 54 55

60 63 58 55 60 58 53

Chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài bằng nhau. Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng bao nhiêu?

Sử dụng tính chất: một dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là cấp số nhân nếu tỷ số của hai số hạng liên tiếp \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=q\) là không đổi với mọi \(n\).  Công bội \(q\) không phụ thuộc vào \(n\).

Ta xét \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{2}{n+1}:\frac{2}{n}=\frac{n}{n+1}\) phụ thuộc vào \(n\).

Suy ra dãy \(\left( {{u}_{n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.

Tập xác định của hàm số \(D=\left( 1;\,2 \right)\cup \left( 2;\,+\infty  \right)\).

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-1}}{{{x}^{2}}-3x+2}\)\(=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\frac{1}{{{x}^{3}}}-\frac{1}{{{x}^{4}}}}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}\)\(=0\).

\(\Rightarrow \) Đường thẳng \(y=0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-1}}{{{x}^{2}}-3x+2}\)\(=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{\left( x-1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}}}=+\infty \).

\(\Rightarrow \) Đường thẳng \(x=1\) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-1}}{{{x}^{2}}-3x+2}=+\infty \).

\(\Rightarrow \) Đường thẳng \(x=2\) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng \(3\) đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Ta có: \(f\left( x \right)+2=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-2\).

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)+2=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y=-2.\)

Từ bảng biến thiên ta có số nghiệm là 2.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align}  & 2x+30{}^\circ \ne 90{}^\circ +k180{}^\circ  \\  & 3x+40{}^\circ \ne k180{}^\circ  \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne 30{}^\circ +k90{}^\circ  \\  & x\ne -\frac{40{}^\circ }{3}+k60{}^\circ  \\ \end{align} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \left( 1 \right): & \tan \left( 2x+{{30}^{{}^\circ }} \right) & =\cot \left( 3x-{{40}^{{}^\circ }} \right)  \\   \Leftrightarrow  & \tan \left( 2x+{{30}^{{}^\circ }} \right) & =\tan \left[ {{90}^{{}^\circ }}-\left( 3x-{{40}^{{}^\circ }} \right) \right]  \\   \Leftrightarrow  & \tan \left( 2x+{{30}^{{}^\circ }} \right) & =\tan \left( {{130}^{{}^\circ }}-3x \right)  \\   \Leftrightarrow  & 2x+{{30}^{{}^\circ }} & ={{130}^{{}^\circ }}-3x+k{{180}^{{}^\circ }}  \\   \Leftrightarrow  & 5x & ={{100}^{{}^\circ }}+k{{180}^{{}^\circ }}  \\   \Leftrightarrow  & x & ={{20}^{{}^\circ }}+k{{36}^{{}^\circ }}\left( k\in \mathbb{Z} \right).  \\\end{array}\)

Ta có: \(0{}^\circ <x<180{}^\circ \Leftrightarrow 0{}^\circ <20{}^\circ +k36{}^\circ <180{}^\circ \).

\(\Leftrightarrow -20{}^\circ <k36{}^\circ <160{}^\circ \Leftrightarrow -\frac{5}{9}<k<\frac{40}{9}\Rightarrow k=\left\{ 0;1;2;3;4 \right\}\).

Vậy phương trình (1) có 5 nghiệm.

Phương trình cần tìm là phương trình đi qua \(A\left( 1;1;1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{BC}\left( 1;-3;1 \right)\) làm vectơ pháp tuyến, do đó có dạng là:

\(1(x-1)-3(y-1)+1(z-1)=0\Leftrightarrow x-3y+z+1=0\)