Câu hỏi:

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và tam giác $BDE$ vuông tại $E$, ta có:

$\cot B = \frac{BE}{DE} = \frac{BC}{AC} \Leftrightarrow BE.AC = DE.BC$

$\Leftrightarrow (BC - 0,5)AC = 4BC \Leftrightarrow BC = \frac{0,5AC}{AC - 4}.$

Mặt khác, theo định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ ta có:

$AB^2 = AC^2 + \frac{0,25AC^2}{(AC - 4)^2}.$

Xét hàm số $f(x) = x^2 + \frac{0,25x^2}{(x - 4)^2}$ với $x \in (4; +\infty)$ ta có:

$f'(x) = 2x - \frac{2x^2 - 8x}{(x - 4)^4}.$

Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 4 \\ x = 5 \end{cases}$

Loại $x = 0, x = 4$.

Khi đó, ta có:

$\min_{x \in (4;+\infty)} f(x) = f(5) = \frac{125}{4}$.

Vậy độ dài $AB$ nhỏ nhất là $AB = \frac{5\sqrt{5}}{2} \approx 5,5902$ (m).

Giả sử nước muối bơm vào có nồng độ $a$ gam/lít.

Sau $t$ phút, ta có khối lượng muối trong bể là $20at$ (gam).

Thể tích của lượng nước trong bể sau $t$ phút là $2000 + 20t$ (lít).

Vậy nồng độ muối sau $t$ phút là:

$f(t) = \frac{20at}{2000 + 20t} = \frac{at}{100 + t}$ (gam/lít)

$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{at}{100 + t} = a$ nên đồ thị hàm số $y = f(t)$ có phương trình tiệm

cận ngang là $y = a = 10$.

Từ đó hàm số nồng độ muối trong bể sau khi bơm được $t$ phút là $f(t) = \frac{10t}{100 + t}$.

Nồng độ muối sau 1 giờ bơm là $f(60) = \frac{10 \cdot 60}{100 + 60} = 3,75$ gam/lít.

Lợi nhuận = Doanh thu - chi phí - thuế.

Gọi $f(x)$ là hàm biểu thị tổng lợi nhuận của doanh nghiệp khi bán hết $x$ sản phẩm

$g(t)$ là hàm biểu thị tổng mức thuế nhà nước phụ thu ứng với $x$ sản phẩm mà doanh nghiệp bán hết.

Khi đó $f(x) = F(x) - G(x) - x.t$ với $x \in (0; 2\,000)$

$= 2\,000x - x^2 - x^2 - 1\,440x - 50 - xt$

$= -2x^2 + (560 - t)x - 50$

$f'(x) = -4x + 560 - t \Rightarrow x = \frac{560 - t}{4} \in (0; 2\,000)$

Bảng biến thiên

$\Rightarrow \max_{(0;2000)} f(x) = f\left(\frac{560 - t}{4}\right)$

$\Rightarrow g(t) = x.t = \frac{560 - t}{4}.t$ với $t \in (0; 300)$

$\Rightarrow g(t) = -\frac{1}{4}t^2 + 140t$

Bảng biến thiên

Vậy $g(t)$ đạt giá trị lớn nhất khi $t = 280$ (nghìn đồng).

Gọi $x$ là số lần tăng giá 100 nghìn đồng ($x > 0$). Khi đó, số căn được cho thuê là: $100 - x$ (căn)

Tổng số tiền thu được trong một tháng là:

$(100 - x)(8\ 000\ 000 + 100\ 000x) = 100\ 000(100 - x)(80 + x) =100\ 000(-x^2 + 20x + 8000)$

$= 100\ 000 [-(x - 10)^2 + 8\ 100] \le 810\ 000\ 000, \forall x > 0$

Dấu "$=$" xảy ra khi $x = 10$ (thỏa mãn)

Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là: $8\ 000\ 000 + 100\ 000.10 = 9\ 000\ 000$ (đồng).

Ta có $y' = 4x^3 - 4m^2x = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \pm m.$

Hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow m \neq 0.$

Suy ra toạ độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

$A(0; m^2), B(m; m^2 - m^4), C(-m; m^2 - m^4).$

Để bốn điểm $A, B, C, O$ là bốn đỉnh của hình thoi thì trung điểm đường chéo $OA$

thuộc đường chéo $BC$

$\Leftrightarrow m^2 - m^4 = \frac{m^2}{2}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m = 0 \ (l) \\ m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases}$

Vậy $m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ là các giá trị cần tìm.