Câu hỏi:

Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm đó.

$y = \frac{x^2 - x + 9}{x - 1}$

$y' = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 9)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 3x + 1 - x^2 + x - 9}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 1)^2}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow (x - 4)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 4$ hoặc $x = -2$.

Ta có bảng xét dấu của $y'$:

• $x < -2$: $y' > 0$


• $-2 < x < 1$: $y' < 0$


• $1 < x < 4$: $y' < 0$


• $x > 4$: $y' > 0$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2; 1)$ và $(1; 4)$.

Xét hàm số $y=x^2-3 x+5$ trên đoạn $[0 ; 2]$.

Ta có $y^{\prime}=2 x-3$.

$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 2 x-3=0 \Leftrightarrow x=\frac{3}{2} .$

Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=0, x=2$ và $x=\frac{3}{2}$ :

$\begin{aligned}

& y(0)=0^2-3(0)+5=5 \\

& y(2)=2^2-3(2)+5=4-6+5=3 \\

& y\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\left(\frac{3}{2}\right)+5=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+5=\frac{9-18+20}{4}=\frac{11}{4}=2.75

\end{aligned}$

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0 ; 2]$ là 5 .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ $(0;d)$ với $d>0$ nên ta loại đáp án C.

$\lim_{x \to +\infty} y=+\infty$, suy ra hệ số $a>0$ nên ta loại đáp án D.

Mặt khác hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_1, x_2$, dựa vào hình vẽ ta thấy $x_1, x_2$ trái dấu nên đáp án ta loại đáp án B và chọn A.

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng: $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang: $y=\frac{a}{c}$, quan sát đồ thị ta thấy: $\left\{\begin{matrix} -\frac{d}{c}>0 \\ \frac{a}{c}>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} cd<0 \\ ac>0 \end{matrix}\right.$

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ cắt trục $Ox$ tại điểm $\left(-\frac{b}{a};0\right)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $\left(0;\frac{b}{d}\right)$ quan sát đồ thị ta thấy: $\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{a}>0 \\ \frac{b}{d}>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab<0 \\ bd>0 \end{matrix}\right.$.

Với $a>0 \Rightarrow b<0; c>0; d<0$.

Với $a<0 \Rightarrow b>0; c<0; d>0$.

Do đó $a>0, b<0, c>0, d<0$.

Ta có: $\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM}$

• $\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d})$


• $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Suy ra $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) - \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d} - \vec{b})$