Câu hỏi:

Để xác định khẳng định đúng, ta xét từng đáp án:

Đáp án 1: Dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{n+1}}=\frac{a-1}{{{n}^{2}+1}}\).

Sai. Theo định nghĩa của dãy số, \({{u}_{n+1}}\) được tính bằng cách thay \(n\) bằng \(n+1\) vào công thức của \({{u}_{n}}\), tức là \({{u}_{n+1}}=\frac{a-1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}\), chứ không phải \(\frac{a-1}{{{n}^{2}+1}}\).

Đáp án 2: \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy số tăng.

Sai. Để xét tính tăng/giảm của dãy số, ta xét hiệu \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}\): \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{a-1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}-\frac{a-1}{{{n}^{2}}}=(a-1)\left( \frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\) \(=(a-1)\frac{{{n}^{2}}-{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}=(a-1)\frac{{{n}^{2}}-({{n}^{2}}+2n+1)}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}=(a-1)\frac{-2n-1}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}\)

Với mọi \(n \in N^*\), ta có \({{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}>0\) và \(-2n-1 < 0\).

Do đó, dấu của hiệu \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}\) phụ thuộc vào dấu của \((a-1)\):

Nếu \(a-1>0\), thì \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}<0\), dãy số là dãy giảm.

Nếu \(a-1<0\), thì \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}>0\), dãy số là dãy tăng.

Nếu \(a-1=0\), thì \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=0\), dãy số là dãy hằng (bằng 0).

Vì tính tăng/giảm của dãy phụ thuộc vào \(a\), nên khẳng định dãy số luôn tăng là sai.

Đáp án 3: \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm.

Sai. Trong toán học, một dãy số được gọi là "không tăng" nếu \({{u}_{n+1}} \le {{u}_{n}}\) với mọi \(n\). Một dãy số được gọi là "không giảm" nếu \({{u}_{n+1}} \ge {{u}_{n}}\) với mọi \(n\).

Nếu một dãy số vừa "không tăng" vừa "không giảm", điều đó có nghĩa là \({{u}_{n+1}} = {{u}_{n}}\) với mọi \(n\), tức là dãy số đó là một dãy số hằng.

Dãy số \({{u}_{n}}=\frac{a-1}{{{n}^{2}}}\) chỉ là dãy số hằng khi \(a-1=0 \Leftrightarrow a=1\). Khi đó \({{u}_{n}}=0\) cho mọi \(n\).

Tuy nhiên, nếu \(a \ne 1\), dãy số sẽ là dãy tăng hoặc dãy giảm (như đã phân tích ở đáp án 2). Do đó, khẳng định dãy số luôn "không tăng, không giảm" (tức là luôn hằng) là sai.

Đáp án 4: Dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{n+1}}=\frac{a-1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}\).

Đúng. Đây là cách tính số hạng thứ \(n+1\) của dãy số bằng cách thay \(n\) bằng \(n+1\) vào công thức tổng quát của \({{u}_{n}}=\frac{a-1}{{{n}^{2}}}\). Khẳng định này đúng theo định nghĩa, không phụ thuộc vào giá trị của \(a\). Vậy, khẳng định đúng là đáp án 4.