Tính tích phân bội hai \[ I = \iint\limits_{D} (2xy - x)\, dA \] trong đó D là miền phẳng có hình tam giác, giới hạn bởi các đường thẳng \[ y = x, \quad x + y = 2, \quad \text{và} \quad y = 0. \]

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân bội ba của hàm $f(x, y, z) = x^2$ trên vật thể $V$ được giới hạn bởi mặt cong paraboloid $z = x^2 + y^2$ và mặt nón $z = 6 - \sqrt{x^2 + y^2}$. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần chuyển đổi sang hệ tọa độ trụ.

Trong hệ tọa độ trụ, ta có các phép đổi biến:
$x = r \cos \theta$
$y = r \sin \theta$
$z = z$
$dV = r \, dz \, dr \, d\theta$

Phương trình mặt paraboloid trở thành: $z = r^2$.
Phương trình mặt nón trở thành: $z = 6 - r$.

Để xác định miền giới hạn của tích phân, ta cần tìm giao tuyến của hai mặt này:
$r^2 = 6 - r$
$r^2 + r - 6 = 0$
$(r+3)(r-2) = 0$
Do $r \ge 0$, ta có $r=2$.

Khi $r=2$, $z = 2^2 = 4$. Vậy giao tuyến là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$ trên mặt phẳng $z=4$.

Vật thể $V$ được giới hạn bởi $z = r^2$ ở phía dưới và $z = 6 - r$ ở phía trên. Do đó, miền xác định bởi:
$r^2 \le z \le 6 - r$

Miền chiếu lên mặt phẳng Oxy (hoặc mặt phẳng $z=0$) là hình tròn có bán kính $r=2$, được giới hạn bởi $0 \le r \le 2$ và $0 \le \theta \le 2\pi$.

Hàm số dưới dấu tích phân là $x^2$, khi chuyển sang tọa độ trụ là $(r \cos \theta)^2 = r^2 \cos^2 \theta$.

Tích phân cần tính trở thành:
$K = \iiint\limits_{V} x^{2}\, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{r^2}^{6-r} (r^2 \cos^2 \theta) \, r \, dz \, dr \, d\theta$
$K = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^3 \cos^2 \theta \, [z]_{r^2}^{6-r} \, dr \, d\theta$
$K = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^3 \cos^2 \theta (6-r-r^2) \, dr \, d\theta$
$K = \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta \, d\theta \, \int_{0}^{2} (6r^3 - r^4 - r^5) \, dr$

Ta tính từng tích phân:
1. $\int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. $\int_{0}^{2} (6r^3 - r^4 - r^5) \, dr = \left[ \frac{6r^4}{4} - \frac{r^5}{5} - \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{3r^4}{2} - \frac{r^5}{5} - \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{2}$
$= \frac{3(2^4)}{2} - \frac{2^5}{5} - \frac{2^6}{6} = \frac{3 \cdot 16}{2} - \frac{32}{5} - \frac{64}{6} = 24 - \frac{32}{5} - \frac{32}{3}$
$= \frac{24 \cdot 15 - 32 \cdot 3 - 32 \cdot 5}{15} = \frac{360 - 96 - 160}{15} = \frac{104}{15}$.

Vậy, $K = \pi \cdot \frac{104}{15} = \frac{104\pi}{15}$.

Câu hỏi này yêu cầu tính toán trong lĩnh vực vật lý, cụ thể là công của trường lực và các khái niệm liên quan đến trường vector như độ phân kì và vector xoáy.

Phân tích câu hỏi:

* Phần a: Yêu cầu tính công thực hiện của trường vector F dọc theo một đường thẳng nối hai điểm A và B. Công của trường vector dọc theo một đường cong được tính bằng tích phân đường loại hai. Trong trường hợp này, đường cong là đoạn thẳng nối A và B.
* Đầu tiên, ta cần tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua A(1; 2; 3) và B(2; 4; 3). Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u = B - A = (2-1, 4-2, 3-3) = (1, 2, 0). Phương trình tham số của đường thẳng có thể viết là: x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 3, với t chạy từ 0 đến 1 (tương ứng với A và B).
* Tiếp theo, ta cần biểu diễn trường vector F theo biến tham số t: F(t) = ( (1+t)(3) )i + 4(2+2t)j - 3k = (3+3t)i + (8+8t)j - 3k.
* Tính vi phân dx, dy, dz dọc theo đường thẳng: dx = dt, dy = 2dt, dz = 0dt.
* Công A được tính bằng tích phân đường: A = \int_C F \cdot dr = \int_0^1 [ (3+3t)(1) + (8+8t)(2) + (-3)(0) ] dt = \int_0^1 (3+3t + 16+16t) dt = \int_0^1 (19+19t) dt.
* Giải tích phân này.

* Phần b: Yêu cầu tìm độ phân kì (divergence) và vector xoáy (curl) của trường F tại trung điểm của AB.
* Tìm trung điểm M của AB: M = ((1+2)/2, (2+4)/2, (3+3)/2) = (3/2, 3, 3).
* Tính độ phân kì của F: div(F) = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y + \partial R/\partial z, với F = Pi + Qj + Rk. Ở đây, P = xz, Q = 4y, R = -3. Vậy div(F) = \partial(xz)/\partial x + \partial(4y)/\partial y + \partial(-3)/\partial z = z + 4 + 0 = z + 4.
* Tính vector xoáy của F: curl(F) = (\partial R/\partial y - \partial Q/\partial z)i + (\partial P/\partial z - \partial R/\partial x)j + (\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y)k.
* \partial R/\partial y = \partial(-3)/\partial y = 0.
* \partial Q/\partial z = \partial(4y)/\partial z = 0.
* \partial P/\partial z = \partial(xz)/\partial z = x.
* \partial R/\partial x = \partial(-3)/\partial x = 0.
* \partial Q/\partial x = \partial(4y)/\partial x = 0.
* \partial P/\partial y = \partial(xz)/\partial y = 0.
* Vậy curl(F) = (0 - 0)i + (x - 0)j + (0 - 0)k = xj.
* Thay tọa độ của trung điểm M(3/2, 3, 3) vào biểu thức của độ phân kì và vector xoáy.

Câu hỏi yêu cầu thực hiện hai nhiệm vụ chính liên quan đến hàm vector F(t) = (1+t)i - 3tj + sqrt(t)k:

1. Tìm vector tiếp tuyến của đồ thị hàm F(t) tại t = 1:
* Khái niệm cốt lõi: Vector tiếp tuyến của một đường cong cho bởi hàm vector F(t) tại một điểm t_0 được tính bằng đạo hàm của hàm vector đó tại t_0, tức là F'(t_0).
* Các bước thực hiện:
* Tính đạo hàm của hàm vector F(t) theo t: F'(t).
* Thay t = 1 vào biểu thức F'(t) để tìm vector tiếp tuyến tại điểm đó.
* Tính toán:
* F(t) = (1+t)i - 3tj + t^(1/2)k
* F'(t) = d/dt(1+t)i + d/dt(-3t)j + d/dt(t^(1/2))k
* F'(t) = 1i - 3j + (1/2)t^(-1/2)k
* F'(t) = i - 3j + 1/(2*sqrt(t))k
* Tại t = 1, F'(1) = i - 3j + 1/(2*sqrt(1))k = i - 3j + (1/2)k.
* Vậy, vector tiếp tuyến tại t = 1 là (1, -3, 1/2).

2. Tính tích phân của hàm F(t):
* Khái niệm cốt lõi: Tích phân của một hàm vector được tính bằng cách lấy tích phân của từng thành phần của vector đó theo biến tương ứng.
* Các bước thực hiện:
* Tính tích phân của từng thành phần (1+t), (-3t), và (sqrt(t)) theo t.
* Kết hợp các kết quả tích phân để có được tích phân của hàm vector F(t).
* Tính toán:
* ∫ F(t) dt = ∫ [(1+t)i - 3tj + sqrt(t)k] dt
* ∫ F(t) dt = [∫(1+t) dt]i - [∫3t dt]j + [∫sqrt(t) dt]k
* ∫(1+t) dt = t + (1/2)t^2 + C1
* ∫3t dt = (3/2)t^2 + C2
* ∫sqrt(t) dt = ∫t^(1/2) dt = (2/3)t^(3/2) + C3
* ∫ F(t) dt = (t + (1/2)t^2)i - ((3/2)t^2)j + ((2/3)t^(3/2))k + C (với C = C1i - C2j + C3k là hằng số vector).
* Vậy, tích phân của F(t) là (t + (1/2)t^2)i - ((3/2)t^2)j + ((2/3)t^(3/2))k + C.

Do câu hỏi yêu cầu tìm cả hai kết quả, nên một đáp án đúng cần bao gồm cả hai phần: vector tiếp tuyến tại t=1 và tích phân của F(t). Vì không có các lựa chọn đáp án để chọn, ta mặc định rằng câu hỏi đang yêu cầu trình bày cách giải và kết quả.

Trong ngữ cảnh của một bài kiểm tra trắc nghiệm nơi cần chọn một đáp án, nếu các đáp án được cung cấp dưới dạng các cặp giá trị (vector tiếp tuyến, tích phân), thì đáp án đúng sẽ là cặp khớp với kết quả tính toán ở trên. Tuy nhiên, vì không có các lựa chọn đáp án, ta không thể xác định `answer_iscorrect` theo định nghĩa 1-based index. Tuy nhiên, yêu cầu là 'Nếu không có đáp án đúng, vẫn phải giải thích lý do', và ở đây là không có tùy chọn để chọn. Giả định rằng câu hỏi mong muốn một lời giải chi tiết hoặc một trong hai phần là đáp án. Nhưng vì câu hỏi có hai phần rõ rệt, nếu cần chọn một, nó sẽ không đầy đủ. Nếu đây là câu hỏi tự luận, thì việc trình bày đầy đủ hai kết quả là cách trả lời. Giả sử câu hỏi có các lựa chọn và một trong số đó chứa cả hai kết quả này, thì đó sẽ là đáp án đúng.

Vì không có các đáp án để lựa chọn, chúng ta không thể xác định `answer_iscorrect` là một số thứ tự. Tuy nhiên, quy định là 'Nếu không có đáp án đúng, vẫn phải giải thích lý do'. Trong trường hợp này, không có 'đáp án đúng' để chọn từ một danh sách. Do đó, ta sẽ để `answer_iscorrect` là null và giải thích rằng không có lựa chọn được cung cấp để xác định.

Câu hỏi này yêu cầu tính tốc độ thay đổi của một trường vô hướng khi nó tác động lên một vật chuyển động theo một quỹ đạo cho trước. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng quy tắc chuỗi cho đạo hàm của hàm nhiều biến.

Trường vô hướng được cho là $F(x,y,z) = 2 \ln(x^2 + y^2 + 1) + z^2 - e^y$.
Quỹ đạo của vật được mô tả bởi các phương trình tham số: $x = \cos(t)$, $y = \sin(t)$, $z = -2t$.

Tốc độ thay đổi của trường vô hướng theo thời gian, $\dfrac{dF}{dt}$, được tính bằng quy tắc chuỗi:
$\dfrac{dF}{dt} = \dfrac{\partial F}{\partial x} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial F}{\partial y} \dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial F}{\partial z} \dfrac{dz}{dt}$.

Bây giờ, chúng ta cần tính các đạo hàm riêng của $F$ và các đạo hàm của $x, y, z$ theo $t$.

1. Đạo hàm riêng của $F$:
$\dfrac{\partial F}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (2 \ln(x^2 + y^2 + 1) + z^2 - e^y) = 2 \cdot \dfrac{1}{x^2 + y^2 + 1} \cdot (2x) = \dfrac{4x}{x^2 + y^2 + 1}$
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (2 \ln(x^2 + y^2 + 1) + z^2 - e^y) = 2 \cdot \dfrac{1}{x^2 + y^2 + 1} \cdot (2y) - e^y = \dfrac{4y}{x^2 + y^2 + 1} - e^y$
$\dfrac{\partial F}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z} (2 \ln(x^2 + y^2 + 1) + z^2 - e^y) = 2z$

2. Đạo hàm của các biến theo $t$:
$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d}{dt}(\cos(t)) = -\sin(t)$
$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{d}{dt}(\sin(t)) = \cos(t)$
$\dfrac{dz}{dt} = \dfrac{d}{dt}(-2t) = -2$

3. Thay các đạo hàm vào công thức quy tắc chuỗi:
$\dfrac{dF}{dt} = \left(\dfrac{4x}{x^2 + y^2 + 1}\right) \cdot (-\sin(t)) + \left(\dfrac{4y}{x^2 + y^2 + 1} - e^y\right) \cdot (\cos(t)) + (2z) \cdot (-2)$
$\dfrac{dF}{dt} = \dfrac{-4x\sin(t)}{x^2 + y^2 + 1} + \dfrac{4y\cos(t)}{x^2 + y^2 + 1} - e^y\cos(t) - 4z$

4. Tính tốc độ thay đổi tại $t = 0$:
Khi $t = 0$, ta có:
$x = \cos(0) = 1$
$y = \sin(0) = 0$
$z = -2(0) = 0$
Thay các giá trị này và $t=0$ vào biểu thức $\dfrac{dF}{dt}$:
$\dfrac{dF}{dt}|_{t=0} = \dfrac{-4(1)\sin(0)}{1^2 + 0^2 + 1} + \dfrac{4(0)\cos(0)}{1^2 + 0^2 + 1} - e^0\cos(0) - 4(0)$
$\dfrac{dF}{dt}|_{t=0} = \dfrac{-4(0)}{2} + \dfrac{0}{2} - (1)(1) - 0$
$\dfrac{dF}{dt}|_{t=0} = 0 + 0 - 1 - 0$
$\dfrac{dF}{dt}|_{t=0} = -1$.

Vậy, tốc độ thay đổi trường vô hướng tác động trên vật khi $t = 0$ là -1.

Câu hỏi yêu cầu tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với một mặt cong cho trước tại một điểm cụ thể. Để giải bài toán này, chúng ta cần áp dụng kiến thức về đạo hàm riêng và phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong.

Đầu tiên, ta cần xác định mặt cong có phương trình F(x, y, z) = 0. Trong trường hợp này, phương trình mặt cong là z = x^2 - 3xy + y^2 + 2025. Ta có thể viết lại thành dạng F(x, y, z) = x^2 - 3xy + y^2 - z + 2025 = 0.

Tiếp theo, ta cần tính các đạo hàm riêng của F theo x, y, và z tại điểm M(5, 0, 2050).

$\\frac{\\partial F}{\\partial x} = 2x - 3y$
$\\frac{\\partial F}{\\partial y} = -3x + 2y$
$\\frac{\\partial F}{\\partial z} = -1$

Thay tọa độ điểm M(5, 0, 2050) vào các đạo hàm riêng ta được:

$\\frac{\\partial F}{\\partial x}(5, 0) = 2(5) - 3(0) = 10$
$\\frac{\\partial F}{\\partial y}(5, 0) = -3(5) + 2(0) = -15$
$\\frac{\\partial F}{\\partial z}(5, 0) = -1$

Các đạo hàm riêng này chính là các thành phần của vector pháp tuyến $\\vec{n}$ của mặt phẳng tiếp xúc tại điểm M. Vậy $\\vec{n} = (10, -15, -1)$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ và có vector pháp tuyến $\\vec{n} = (A, B, C)$ là $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Thay tọa độ điểm M(5, 0, 2050) và vector pháp tuyến $\\vec{n} = (10, -15, -1)$ vào phương trình mặt phẳng ta có:

$10(x - 5) - 15(y - 0) - 1(z - 2050) = 0$

$10x - 50 - 15y - z + 2050 = 0$

$10x - 15y - z + 2000 = 0$

Đây chính là phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong đã cho tại điểm M.

Lưu ý: Nếu mặt cong được cho dưới dạng z = f(x, y), phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm $(x_0, y_0, z_0)$ với $z_0 = f(x_0, y_0)$ có thể được viết trực tiếp là: $z - z_0 = \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$.

Trong trường hợp này:

$f(x, y) = x^2 - 3xy + y^2 + 2025$

$\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 2x - 3y$

$\\frac{\\partial f}{\\partial y} = -3x + 2y$

Tại điểm M(5, 0, 2050), ta có $x_0 = 5$, $y_0 = 0$, $z_0 = 2050$.

$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(5, 0) = 2(5) - 3(0) = 10$
$\\frac{\\partial f}{\\partial y}(5, 0) = -3(5) + 2(0) = -15$

Thay vào công thức phương trình mặt phẳng tiếp xúc:

$z - 2050 = 10(x - 5) - 15(y - 0)$

$z - 2050 = 10x - 50 - 15y$

$10x - 15y - z + 2050 - 50 = 0$

$10x - 15y - z + 2000 = 0$

Cả hai cách tiếp cận đều cho ra cùng một kết quả, khẳng định tính đúng đắn của phương trình tìm được.