Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong

z = x² − 3xy + y² + 2025

tại điểm M (5; 0; 2050).

Để tìm các cực trị tương đối của hàm số hai biến f(x,y) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4xy^{2} - 2x^{2} + 8y^{2}, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm riêng bậc nhất: Tính đạo hàm riêng của hàm số theo x và theo y, sau đó cho chúng bằng 0 để tìm các điểm dừng.
* f_x = \partial f / \partial x = x^{3} - 4y^{2} - 4x
* f_y = \partial f / \partial y = -8xy + 16y

Cho f_x = 0 và f_y = 0:
* x^{3} - 4y^{2} - 4x = 0 (1)
* -8xy + 16y = 0 => 8y(-x + 2) = 0 => y = 0 hoặc x = 2 (2)

2. Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng:
* Trường hợp 1: y = 0. Thay y = 0 vào phương trình (1):
x^{3} - 4(0)^{2} - 4x = 0
x^{3} - 4x = 0
x(x^{2} - 4) = 0
x(x - 2)(x + 2) = 0
Các nghiệm là x = 0, x = 2, x = -2.
Vậy, ta có ba điểm dừng khi y = 0: (0, 0), (2, 0), (-2, 0).
* Trường hợp 2: x = 2. Thay x = 2 vào phương trình (1):
(2)^{3} - 4y^{2} - 4(2) = 0
8 - 4y^{2} - 8 = 0
-4y^{2} = 0
y^{2} = 0
y = 0.
Điểm dừng này đã được tìm thấy ở Trường hợp 1, đó là (2, 0).

Vậy, các điểm dừng của hàm số là (0, 0), (2, 0), và (-2, 0).

3. Tìm đạo hàm riêng bậc hai: Tính các đạo hàm riêng bậc hai:
* f_xx = \partial^{2} f / \partial x^{2} = 3x^{2} - 4
* f_yy = \partial^{2} f / \partial y^{2} = -8x + 16
* f_xy = \partial^{2} f / \partial x \partial y = -8y
* f_yx = \partial^{2} f / \partial y \partial x = -8y
(Ta thấy f_xy = f_yx, đúng theo lý thuyết).

4. Sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm bậc hai để phân loại các điểm dừng: Tính định thức Hessian D = f_xx * f_yy - (f_xy)^{2}.
* Tại điểm (0, 0):
f_xx(0,0) = 3(0)^{2} - 4 = -4
f_yy(0,0) = -8(0) + 16 = 16
f_xy(0,0) = -8(0) = 0
D(0,0) = (-4)(16) - (0)^{2} = -64. Vì D < 0, điểm (0, 0) là điểm cực trị yên ngựa.

* Tại điểm (2, 0):
f_xx(2,0) = 3(2)^{2} - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8
f_yy(2,0) = -8(2) + 16 = -16 + 16 = 0
f_xy(2,0) = -8(0) = 0
D(2,0) = (8)(0) - (0)^{2} = 0. Khi D = 0, tiêu chuẩn đạo hàm bậc hai không cho kết quả xác định. Cần phân tích thêm.

* Tại điểm (-2, 0):
f_xx(-2,0) = 3(-2)^{2} - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8
f_yy(-2,0) = -8(-2) + 16 = 16 + 16 = 32
f_xy(-2,0) = -8(0) = 0
D(-2,0) = (8)(32) - (0)^{2} = 256. Vì D > 0 và f_xx(-2,0) = 8 > 0, điểm (-2, 0) là một điểm cực tiểu địa phương.

5. Phân tích điểm (2, 0) khi D = 0:
Chúng ta cần xem xét sự thay đổi của hàm f(x,y) xung quanh điểm (2, 0). Xét đường thẳng y = 0 đi qua (2, 0).
f(x, 0) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 2x^{2}.
Đặt g(x) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 2x^{2}.
g'(x) = x^{3} - 4x = x(x-2)(x+2).
g'(2) = 0. g''(x) = 3x^{2} - 4.
g''(2) = 3(2)^{2} - 4 = 12 - 4 = 8 > 0. Điều này cho thấy tại điểm (2, 0) trên đường y = 0, hàm số có cực tiểu.

Bây giờ, xét đường thẳng x = 2 đi qua (2, 0).
f(2, y) = \tfrac{1}{4}(2)^{4} - 4(2)y^{2} - 2(2)^{2} + 8y^{2}
f(2, y) = \tfrac{1}{4}(16) - 8y^{2} - 8 + 8y^{2}
f(2, y) = 4 - 8y^{2} - 8 + 8y^{2} = -4.
Khi x = 2, giá trị của hàm số luôn bằng -4, bất kể giá trị của y. Điều này có nghĩa là tại điểm (2, 0), hàm số không thay đổi giá trị ngay lập tức khi di chuyển dọc theo đường x=2. Tuy nhiên, nếu ta xem xét giá trị của hàm tại (2,0) là f(2,0) = 1/4*(16) - 4*2*0 - 2*4 + 8*0 = 4 - 0 - 8 + 0 = -4.

Xét giá trị của hàm số tại (2,0) so với các điểm lân cận.
f(x,y) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4xy^{2} - 2x^{2} + 8y^{2}
Ta có thể viết lại hàm số như sau:
f(x,y) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 2x^{2} + 4y^{2}(2 - x/2)
Hoặc có thể thử lại bằng việc thay các giá trị gần (2,0).
Ví dụ: f(2, 0.1) = \tfrac{1}{4}(2)^{4} - 4(2)(0.1)^{2} - 2(2)^{2} + 8(0.1)^{2}
= 4 - 8(0.01) - 8 + 8(0.01)
= 4 - 0.08 - 8 + 0.08 = -4.

Có vẻ như có sự nhầm lẫn trong phân tích điểm D=0. Hãy xem lại các bước tính toán.
f_x = x^3 - 4y^2 - 4x = 0
f_y = -8xy + 16y = 8y(2-x) = 0 => y=0 hoặc x=2.

Khi y=0:
x^3 - 4x = 0 => x(x^2-4) = 0 => x=0, x=2, x=-2.
Điểm dừng: (0,0), (2,0), (-2,0).

Khi x=2:
2^3 - 4y^2 - 4(2) = 0
8 - 4y^2 - 8 = 0
-4y^2 = 0 => y=0.
Điểm dừng (2,0) đã được tìm.

Đạo hàm bậc hai:
f_xx = 3x^2 - 4
f_yy = -8x + 16
f_xy = -8y

Tại (0,0):
f_xx = -4, f_yy = 16, f_xy = 0. D = (-4)(16) - 0 = -64 < 0. Điểm yên ngựa.

Tại (-2,0):
f_xx = 3(-2)^2 - 4 = 12-4 = 8.
f_yy = -8(-2) + 16 = 16+16 = 32.
f_xy = -8(0) = 0.
D = (8)(32) - 0 = 256 > 0. f_xx = 8 > 0. Cực tiểu địa phương.

Tại (2,0):
f_xx = 3(2)^2 - 4 = 12-4 = 8.
f_yy = -8(2) + 16 = -16+16 = 0.
f_xy = -8(0) = 0.
D = (8)(0) - 0 = 0. Không xác định.

Xem xét hàm dọc theo đường y=mx qua (2,0).
f(x, mx) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4x(mx)^{2} - 2x^{2} + 8(mx)^{2}
f(x, mx) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4m^{2}x^{3} - 2x^{2} + 8m^{2}x^{2}
f(x, mx) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4m^{2}x^{3} + (8m^{2} - 2)x^{2}
Cho g(x) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4m^{2}x^{3} + (8m^{2} - 2)x^{2}.
g'(x) = x^{3} - 12m^{2}x^{2} + 2(8m^{2} - 2)x
g'(2) = 2^{3} - 12m^{2}(2^{2}) + 2(8m^{2} - 2)(2)
= 8 - 48m^{2} + 4(8m^{2} - 2)
= 8 - 48m^{2} + 32m^{2} - 8
= -16m^{2}.
Để (2,0) là cực trị, g'(2) phải bằng 0. Điều này xảy ra khi m=0.
Khi m=0, ta có đường y=0, và ta đã biết g'(x) = x^3 - 4x, g'(2) = 0.

Xem xét lại hàm:
f(x,y) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4xy^{2} - 2x^{2} + 8y^{2}.
Ta có thể nhóm lại:
f(x,y) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 2x^{2} + y^{2}(8 - 4x).
Tại điểm (2,0), giá trị hàm là f(2,0) = -4.
Xét các điểm lân cận (2+h, k).
f(2+h, k) = \tfrac{1}{4}(2+h)^{4} - 4(2+h)k^{2} - 2(2+h)^{2} + 8k^{2}
= \tfrac{1}{4}(16 + 32h + 24h^{2} + ...) - (8+4h)k^{2} - 2(4 + 4h + h^{2}) + 8k^{2}
= (4 + 8h + 6h^{2} + ...) - 8k^{2} - 4h k^{2} - (8 + 8h + 2h^{2}) + 8k^{2}
= 4 + 8h + 6h^{2} - 8 - 8h - 2h^{2} - 4h k^{2}
= -4 + 4h^{2} - 4h k^{2} + ...
= -4 + 4h(h - k^{2}) + ...
Nếu h > 0 và h > k^{2}, thì f(2+h, k) > -4.
Nếu h > 0 và h < k^{2}, thì f(2+h, k) < -4.
Nếu h < 0, thì f(2+h, k) có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn -4 tùy thuộc vào dấu của h(h-k^2).
Điều này cho thấy điểm (2, 0) là một điểm yên ngựa.

Tóm lại:
* Điểm (0, 0) là điểm yên ngựa.
* Điểm (-2, 0) là điểm cực tiểu địa phương.
* Điểm (2, 0) là điểm yên ngựa.

Vậy, chỉ có một điểm cực trị tương đối là cực tiểu địa phương tại (-2, 0).

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân bội hai trên một miền D xác định bởi ba đường thẳng: y = x, x + y = 2, và y = 0. Đầu tiên, cần xác định miền D bằng cách tìm các giao điểm của các đường thẳng này. Giao điểm của y = x và y = 0 là (0,0). Giao điểm của x + y = 2 và y = 0 là (2,0). Giao điểm của y = x và x + y = 2: thay y = x vào phương trình thứ hai, ta được x + x = 2, suy ra 2x = 2, hay x = 1. Khi đó y = 1. Vậy giao điểm là (1,1).

Miền D là một tam giác với ba đỉnh là (0,0), (2,0), và (1,1).

Ta có thể thiết lập tích phân bội hai theo hai cách:

Cách 1: Tích phân theo dy trước rồi dx.
Với cách này, ta cần chia miền D thành hai phần do đường thẳng y = x chia đôi tam giác. Tuy nhiên, việc này phức tạp hơn. Ta có thể xem xét miền D như sau: với x chạy từ 0 đến 2, y chạy từ 0 đến một giới hạn trên phụ thuộc vào x. Nếu 0 <= x <= 1, giới hạn trên của y là y = x. Nếu 1 <= x <= 2, giới hạn trên của y là y = 2 - x.

Vậy, tích phân có thể viết thành:
\[ I = \int_0^1 \int_0^x (2xy - x) dy dx + \int_1^2 \int_0^{2-x} (2xy - x) dy dx \]

Tính tích phân bên trong:
\[ \int (2xy - x) dy = xy^2 - xy \]

Với cận từ 0 đến x:
\[ [xy^2 - xy]_0^x = x(x^2) - x(x) - (0) = x^3 - x^2 \]

Với cận từ 0 đến 2-x:
\[ [xy^2 - xy]_0^{2-x} = x(2-x)^2 - x(2-x) = x(4 - 4x + x^2) - 2x + x^2 = 4x - 4x^2 + x^3 - 2x + x^2 = x^3 - 3x^2 + 2x \]

Bây giờ tính tích phân ngoài:
\[ \int_0^1 (x^3 - x^2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 4}{12} = -\frac{1}{12} \]

\[ \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_1^2 \]

\[ = \left( \frac{2^4}{4} - 2^3 + 2^2 \right) - \left( \frac{1^4}{4} - 1^3 + 1^2 \right) \]

\[ = \left( \frac{16}{4} - 8 + 4 \right) - \left( \frac{1}{4} - 1 + 1 \right) = (4 - 8 + 4) - \frac{1}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} \]

Cộng hai kết quả lại:
\[ I = -\frac{1}{12} + \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3} \]

Cách 2: Tích phân theo dx trước rồi dy.
Với cách này, ta xét y chạy từ 0 đến 1. Với mỗi giá trị của y, x chạy từ y đến 2-y.
\[ I = \int_0^1 \int_y^{2-y} (2xy - x) dx dy \]

Tính tích phân bên trong theo x:
\[ \int (2xy - x) dx = x^2y - \frac{x^2}{2} \]

Với cận từ y đến 2-y:
\[ \left[ x^2y - \frac{x^2}{2} \right]_y^{2-y} = \left( (2-y)^2 y - \frac{(2-y)^2}{2} \right) - \left( y^2y - \frac{y^2}{2} \right) \]

\[ = (4 - 4y + y^2)y - \frac{4 - 4y + y^2}{2} - y^3 + \frac{y^2}{2} \]

\[ = 4y - 4y^2 + y^3 - 2 + 2y - \frac{y^2}{2} - y^3 + \frac{y^2}{2} \]

\[ = (4y + 2y) + (-4y^2 - \frac{y^2}{2} + \frac{y^2}{2}) + (y^3 - y^3) - 2 \]

\[ = 6y - 4y^2 - 2 \]

Bây giờ tính tích phân ngoài:
\[ \int_0^1 (6y - 4y^2 - 2) dy = \left[ 3y^2 - \frac{4y^3}{3} - 2y \right]_0^1 \]

\[ = \left( 3(1)^2 - \frac{4(1)^3}{3} - 2(1) \right) - (0) \]

\[ = 3 - \frac{4}{3} - 2 = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3 - 4}{3} = -\frac{1}{3} \]

Cả hai cách đều cho kết quả I = -1/3. Do đó, đáp án đúng là -1/3.

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân bội ba của hàm $f(x, y, z) = x^2$ trên vật thể $V$ được giới hạn bởi mặt cong paraboloid $z = x^2 + y^2$ và mặt nón $z = 6 - \sqrt{x^2 + y^2}$. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần chuyển đổi sang hệ tọa độ trụ.

Trong hệ tọa độ trụ, ta có các phép đổi biến:
$x = r \cos \theta$
$y = r \sin \theta$
$z = z$
$dV = r \, dz \, dr \, d\theta$

Phương trình mặt paraboloid trở thành: $z = r^2$.
Phương trình mặt nón trở thành: $z = 6 - r$.

Để xác định miền giới hạn của tích phân, ta cần tìm giao tuyến của hai mặt này:
$r^2 = 6 - r$
$r^2 + r - 6 = 0$
$(r+3)(r-2) = 0$
Do $r \ge 0$, ta có $r=2$.

Khi $r=2$, $z = 2^2 = 4$. Vậy giao tuyến là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$ trên mặt phẳng $z=4$.

Vật thể $V$ được giới hạn bởi $z = r^2$ ở phía dưới và $z = 6 - r$ ở phía trên. Do đó, miền xác định bởi:
$r^2 \le z \le 6 - r$

Miền chiếu lên mặt phẳng Oxy (hoặc mặt phẳng $z=0$) là hình tròn có bán kính $r=2$, được giới hạn bởi $0 \le r \le 2$ và $0 \le \theta \le 2\pi$.

Hàm số dưới dấu tích phân là $x^2$, khi chuyển sang tọa độ trụ là $(r \cos \theta)^2 = r^2 \cos^2 \theta$.

Tích phân cần tính trở thành:
$K = \iiint\limits_{V} x^{2}\, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{r^2}^{6-r} (r^2 \cos^2 \theta) \, r \, dz \, dr \, d\theta$
$K = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^3 \cos^2 \theta \, [z]_{r^2}^{6-r} \, dr \, d\theta$
$K = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^3 \cos^2 \theta (6-r-r^2) \, dr \, d\theta$
$K = \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta \, d\theta \, \int_{0}^{2} (6r^3 - r^4 - r^5) \, dr$

Ta tính từng tích phân:
1. $\int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. $\int_{0}^{2} (6r^3 - r^4 - r^5) \, dr = \left[ \frac{6r^4}{4} - \frac{r^5}{5} - \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{3r^4}{2} - \frac{r^5}{5} - \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{2}$
$= \frac{3(2^4)}{2} - \frac{2^5}{5} - \frac{2^6}{6} = \frac{3 \cdot 16}{2} - \frac{32}{5} - \frac{64}{6} = 24 - \frac{32}{5} - \frac{32}{3}$
$= \frac{24 \cdot 15 - 32 \cdot 3 - 32 \cdot 5}{15} = \frac{360 - 96 - 160}{15} = \frac{104}{15}$.

Vậy, $K = \pi \cdot \frac{104}{15} = \frac{104\pi}{15}$.

Câu hỏi này yêu cầu tính toán trong lĩnh vực vật lý, cụ thể là công của trường lực và các khái niệm liên quan đến trường vector như độ phân kì và vector xoáy.

Phân tích câu hỏi:

* Phần a: Yêu cầu tính công thực hiện của trường vector F dọc theo một đường thẳng nối hai điểm A và B. Công của trường vector dọc theo một đường cong được tính bằng tích phân đường loại hai. Trong trường hợp này, đường cong là đoạn thẳng nối A và B.
* Đầu tiên, ta cần tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua A(1; 2; 3) và B(2; 4; 3). Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u = B - A = (2-1, 4-2, 3-3) = (1, 2, 0). Phương trình tham số của đường thẳng có thể viết là: x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 3, với t chạy từ 0 đến 1 (tương ứng với A và B).
* Tiếp theo, ta cần biểu diễn trường vector F theo biến tham số t: F(t) = ( (1+t)(3) )i + 4(2+2t)j - 3k = (3+3t)i + (8+8t)j - 3k.
* Tính vi phân dx, dy, dz dọc theo đường thẳng: dx = dt, dy = 2dt, dz = 0dt.
* Công A được tính bằng tích phân đường: A = \int_C F \cdot dr = \int_0^1 [ (3+3t)(1) + (8+8t)(2) + (-3)(0) ] dt = \int_0^1 (3+3t + 16+16t) dt = \int_0^1 (19+19t) dt.
* Giải tích phân này.

* Phần b: Yêu cầu tìm độ phân kì (divergence) và vector xoáy (curl) của trường F tại trung điểm của AB.
* Tìm trung điểm M của AB: M = ((1+2)/2, (2+4)/2, (3+3)/2) = (3/2, 3, 3).
* Tính độ phân kì của F: div(F) = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y + \partial R/\partial z, với F = Pi + Qj + Rk. Ở đây, P = xz, Q = 4y, R = -3. Vậy div(F) = \partial(xz)/\partial x + \partial(4y)/\partial y + \partial(-3)/\partial z = z + 4 + 0 = z + 4.
* Tính vector xoáy của F: curl(F) = (\partial R/\partial y - \partial Q/\partial z)i + (\partial P/\partial z - \partial R/\partial x)j + (\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y)k.
* \partial R/\partial y = \partial(-3)/\partial y = 0.
* \partial Q/\partial z = \partial(4y)/\partial z = 0.
* \partial P/\partial z = \partial(xz)/\partial z = x.
* \partial R/\partial x = \partial(-3)/\partial x = 0.
* \partial Q/\partial x = \partial(4y)/\partial x = 0.
* \partial P/\partial y = \partial(xz)/\partial y = 0.
* Vậy curl(F) = (0 - 0)i + (x - 0)j + (0 - 0)k = xj.
* Thay tọa độ của trung điểm M(3/2, 3, 3) vào biểu thức của độ phân kì và vector xoáy.

Câu hỏi yêu cầu thực hiện hai nhiệm vụ chính liên quan đến hàm vector F(t) = (1+t)i - 3tj + sqrt(t)k:

1. Tìm vector tiếp tuyến của đồ thị hàm F(t) tại t = 1:
* Khái niệm cốt lõi: Vector tiếp tuyến của một đường cong cho bởi hàm vector F(t) tại một điểm t_0 được tính bằng đạo hàm của hàm vector đó tại t_0, tức là F'(t_0).
* Các bước thực hiện:
* Tính đạo hàm của hàm vector F(t) theo t: F'(t).
* Thay t = 1 vào biểu thức F'(t) để tìm vector tiếp tuyến tại điểm đó.
* Tính toán:
* F(t) = (1+t)i - 3tj + t^(1/2)k
* F'(t) = d/dt(1+t)i + d/dt(-3t)j + d/dt(t^(1/2))k
* F'(t) = 1i - 3j + (1/2)t^(-1/2)k
* F'(t) = i - 3j + 1/(2*sqrt(t))k
* Tại t = 1, F'(1) = i - 3j + 1/(2*sqrt(1))k = i - 3j + (1/2)k.
* Vậy, vector tiếp tuyến tại t = 1 là (1, -3, 1/2).

2. Tính tích phân của hàm F(t):
* Khái niệm cốt lõi: Tích phân của một hàm vector được tính bằng cách lấy tích phân của từng thành phần của vector đó theo biến tương ứng.
* Các bước thực hiện:
* Tính tích phân của từng thành phần (1+t), (-3t), và (sqrt(t)) theo t.
* Kết hợp các kết quả tích phân để có được tích phân của hàm vector F(t).
* Tính toán:
* ∫ F(t) dt = ∫ [(1+t)i - 3tj + sqrt(t)k] dt
* ∫ F(t) dt = [∫(1+t) dt]i - [∫3t dt]j + [∫sqrt(t) dt]k
* ∫(1+t) dt = t + (1/2)t^2 + C1
* ∫3t dt = (3/2)t^2 + C2
* ∫sqrt(t) dt = ∫t^(1/2) dt = (2/3)t^(3/2) + C3
* ∫ F(t) dt = (t + (1/2)t^2)i - ((3/2)t^2)j + ((2/3)t^(3/2))k + C (với C = C1i - C2j + C3k là hằng số vector).
* Vậy, tích phân của F(t) là (t + (1/2)t^2)i - ((3/2)t^2)j + ((2/3)t^(3/2))k + C.

Do câu hỏi yêu cầu tìm cả hai kết quả, nên một đáp án đúng cần bao gồm cả hai phần: vector tiếp tuyến tại t=1 và tích phân của F(t). Vì không có các lựa chọn đáp án để chọn, ta mặc định rằng câu hỏi đang yêu cầu trình bày cách giải và kết quả.

Trong ngữ cảnh của một bài kiểm tra trắc nghiệm nơi cần chọn một đáp án, nếu các đáp án được cung cấp dưới dạng các cặp giá trị (vector tiếp tuyến, tích phân), thì đáp án đúng sẽ là cặp khớp với kết quả tính toán ở trên. Tuy nhiên, vì không có các lựa chọn đáp án, ta không thể xác định `answer_iscorrect` theo định nghĩa 1-based index. Tuy nhiên, yêu cầu là 'Nếu không có đáp án đúng, vẫn phải giải thích lý do', và ở đây là không có tùy chọn để chọn. Giả định rằng câu hỏi mong muốn một lời giải chi tiết hoặc một trong hai phần là đáp án. Nhưng vì câu hỏi có hai phần rõ rệt, nếu cần chọn một, nó sẽ không đầy đủ. Nếu đây là câu hỏi tự luận, thì việc trình bày đầy đủ hai kết quả là cách trả lời. Giả sử câu hỏi có các lựa chọn và một trong số đó chứa cả hai kết quả này, thì đó sẽ là đáp án đúng.

Vì không có các đáp án để lựa chọn, chúng ta không thể xác định `answer_iscorrect` là một số thứ tự. Tuy nhiên, quy định là 'Nếu không có đáp án đúng, vẫn phải giải thích lý do'. Trong trường hợp này, không có 'đáp án đúng' để chọn từ một danh sách. Do đó, ta sẽ để `answer_iscorrect` là null và giải thích rằng không có lựa chọn được cung cấp để xác định.