Tìm đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình:

x³ - 3(x² + 1)y + xy³ = 1

Để khai triển hàm số $f(x) = \sqrt{x+1}$ theo công thức Maclaurin đến lũy thừa bậc 5 của x với phần dư dạng Peano, ta cần tính các đạo hàm của f(x) tại x = 0.

$f(x) = (x+1)^{1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^{-3/2}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(x+1)^{-5/2}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(x+1)^{-7/2}$

$f^{(5)}(x) = \frac{105}{32}(x+1)^{-9/2}$

Tính các giá trị tại x = 0:

$f(0) = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}$ $f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(0) = \frac{3}{8}$ $f^{(4)}(0) = -\frac{15}{16}$

$f^{(5)}(0) = \frac{105}{32}$

Sử dụng công thức Maclaurin:

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 + o(x^5)$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 + o(x^5)$

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có: lim (x→0) f(x) = f(0)

Tính lim (x→0) f(x): lim (x→0) f(x) = lim (x→0) [x*sin(1/x) / x + 2] = lim (x→0) [sin(1/x) + 2] Vì -1 <= sin(1/x) <= 1 nên khi x dần tới 0, sin(1/x) sẽ dao động giữa -1 và 1.

Do đó, giới hạn lim (x→0) sin(1/x) không tồn tại.

Tuy nhiên, câu hỏi có thể có một lỗi nhỏ trong biểu thức.

Nếu biểu thức đúng là `(x*sin(1/x))/x + 2` thì ta sẽ giải như sau: lim (x→0) [sin(1/x) + 2]

Nếu đề bài là `f(x) = sin(x)/x + 2` khi x != 0, thì lim (x→0) f(x) = lim (x→0) (sin(x) / x) + 2 = 1 + 2 = 3

Khi đó, để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần a = f(0) = 3.

Tuy nhiên, với biểu thức đã cho `f(x) = (x*sin(1/x)) / x + 2`, giới hạn không tồn tại khi x->0, trừ khi có sự triệt tiêu nào đó.

Nếu đề bài có thể sửa lại thành: `f(x) = x*sin(1/x) + 2` khi x!=0 và `f(x) = a` khi x = 0 Khi đó, lim (x→0) x*sin(1/x) + 2 = 0 + 2 = 2

Vậy a = 2.

Để tính giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}}\) ta làm như sau:

Ta có thể viết lại biểu thức như sau: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} e^{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} \cdot \lim_{x \to +\infty} e^{2x}\) Khi \(x \to +\infty\), \(-2x^2 + 3\) có bậc lớn nhất là \(x^2\) và \(x\) có bậc là 1.

Vì vậy, ta xét: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} = \lim_{x \to +\infty} (-2x + \frac{3}{x})\) Khi \(x \to +\infty\), \(-2x \to -\infty\) và \(\frac{3}{x} \to 0\), do đó: \(\lim_{x \to +\infty} (-2x + \frac{3}{x}) = -\infty\)

Mặt khác, \(\lim_{x \to +\infty} e^{2x} = +\infty\)

Vậy, ta có một dạng \((-\infty) \cdot (+\infty)\), kết quả sẽ là \(-\infty\).

Do đó, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}} = -\infty\)

Để xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, ta cần tìm điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất của hàm lợi nhuận bằng 0 và đạo hàm bậc hai âm.

1. Tính hàm lợi nhuận (Profit):
Lợi nhuận (π) = Doanh thu (TR) - Chi phí (TC)
π = (1600Q - 2Q²) - (Q³ - 8Q² + 160Q + 680)
π = 1600Q - 2Q² - Q³ + 8Q² - 160Q - 680
π = -Q³ + 6Q² + 1440Q - 680

2. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm lợi nhuận:
π' = dπ/dQ = -3Q² + 12Q + 1440

3. Tìm Q sao cho π' = 0:
-3Q² + 12Q + 1440 = 0
Chia cả hai vế cho -3: Q² - 4Q - 480 = 0
Giải phương trình bậc hai này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Q = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
Trong đó a = 1, b = -4, c = -480
Q = [4 ± √((-4)² - 4 * 1 * -480)] / 2
Q = [4 ± √(16 + 1920)] / 2
Q = [4 ± √1936] / 2
Q = [4 ± 44] / 2
Ta có hai nghiệm: Q₁ = (4 + 44) / 2 = 24 và Q₂ = (4 - 44) / 2 = -20
Vì sản lượng không thể âm, ta chọn Q = 24.

4. Tính đạo hàm bậc hai của hàm lợi nhuận:
π'' = d²π/dQ² = -6Q + 12

5. Kiểm tra điều kiện tối đa hóa (π'' < 0) tại Q = 24:
π''(24) = -6(24) + 12 = -144 + 12 = -132
Vì π''(24) < 0, Q = 24 là mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận.

Vậy, mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận của nhà sản xuất là 24.