Hàm sản xuất sản phẩm của một doanh nghiệp là: Q = L*L + K*K ­ K*L (Q là sản lượng; L là số lao động; K là số vốn). Giá các yếu tố đầu vào PK=20; PL=10. Chi phí sản xuất không đổi TC=140. Phương án sản xuất tối ưu:

Để tìm phương án sản xuất tối ưu, ta cần tối đa hóa sản lượng Q với chi phí sản xuất TC không đổi. Bài toán này có thể giải bằng phương pháp nhân tử Lagrange. 1. **Xây dựng hàm Lagrange:** Hàm Lagrange được xây dựng như sau: L(L, K, λ) = L² + K² - KL + λ(TC - PL*L - PK*K), trong đó λ là nhân tử Lagrange. 2. **Tìm điều kiện tối ưu:** Lấy đạo hàm riêng của hàm Lagrange theo L, K và λ, sau đó đặt bằng 0: * ∂L/∂L = 2L - K - λPL = 0 => 2L - K - 10λ = 0 * ∂L/∂K = 2K - L - λPK = 0 => 2K - L - 20λ = 0 * ∂L/∂λ = TC - PL*L - PK*K = 0 => 140 - 10L - 20K = 0 3. **Giải hệ phương trình:** Từ phương trình (1) và (2), ta có thể giải ra mối quan hệ giữa L và K: * 2L - K = 10λ * 2K - L = 20λ Nhân phương trình (1) với 2: 4L - 2K = 20λ. Từ đó suy ra 4L - 2K = 2K - L, hay 5L = 4K => L = 0.8K Thay L = 0.8K vào phương trình chi phí (3): 140 - 10(0.8K) - 20K = 0 => 140 - 8K - 20K = 0 => 28K = 140 => K = 5. Vậy L = 0.8 * 5 = 4. 4. **Kết luận:** Phương án sản xuất tối ưu là K = 5 và L = 4.