Doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn toàn có hàm chi phí sau: TC=10Q³-4Q²+20Q+500. Doanh nghiệp theo đuổi mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận nhưng bị hòa vốn, khi ấy sản lượng hòa vốn bằng.

Để giải bài toán này, ta cần tìm mức sản lượng Q mà tại đó doanh nghiệp hòa vốn, tức là tổng doanh thu (TR) bằng tổng chi phí (TC). Vì doanh nghiệp hoạt động trong thị trường cạnh tranh hoàn toàn, giá P là cố định và doanh thu TR = P*Q. Khi hòa vốn, lợi nhuận bằng 0, tức là TR = TC.

Vì doanh nghiệp hòa vốn nên ta có phương trình: TR = TC hay P*Q = 10Q³ - 4Q² + 20Q + 500.

Để tìm được Q, ta cần biết giá P. Tuy nhiên, thông tin về giá P không được cung cấp trực tiếp trong đề bài. Ta có thể khai thác thông tin hòa vốn để tìm ra mối liên hệ giữa P và Q. Tại điểm hòa vốn, chi phí trung bình (ATC) bằng giá (P). ATC = TC/Q = 10Q² - 4Q + 20 + 500/Q.

Như vậy P = 10Q² - 4Q + 20 + 500/Q

Thay vào phương trình P*Q = 10Q³ - 4Q² + 20Q + 500, ta thấy phương trình này luôn đúng, có nghĩa là mọi mức sản lượng Q đều có thể là điểm hòa vốn tùy thuộc vào giá P tương ứng. Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu tìm một giá trị cụ thể của Q. Để làm được điều này, ta cần thêm một điều kiện nữa. Điểm hòa vốn thường xảy ra khi lợi nhuận cận biên bằng 0 (MR = MC), điều này có nghĩa là doanh nghiệp đang sản xuất ở mức sản lượng tối ưu để hòa vốn.

Ta có MC = dTC/dQ = 30Q² - 8Q + 20

Vì thị trường cạnh tranh hoàn toàn nên MR = P

Vậy P = 30Q² - 8Q + 20

Kết hợp hai phương trình:

P = 10Q² - 4Q + 20 + 500/Q

P = 30Q² - 8Q + 20

Ta có:

10Q² - 4Q + 20 + 500/Q = 30Q² - 8Q + 20

=> 20Q² - 4Q - 500/Q = 0

=> 20Q³ - 4Q² - 500 = 0

=> 5Q³ - Q² - 125 = 0

Giải phương trình bậc 3 này, ta tìm được nghiệm Q ≈ 2.99

Vậy sản lượng hòa vốn là Q ≈ 2.99.