Đạo hàm cấp n của hàm ln x là:

Xét chuỗi (1): \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{n + 5}}{{n({n^2} + 1)}}}\). Ta có: \(\frac{{n + 5}}{{n({n^2} + 1)}} \sim \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}\) khi n tiến tới vô cùng. Vì chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^2}}}} \) hội tụ (chuỗi điều hòa tổng quát với p = 2 > 1) nên chuỗi (1) hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.

Xét chuỗi (2): \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{n^4} + 4n}}}\). Ta có: \(\frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{n^4} + 4n}} \sim \frac{{\sqrt{n}}}{{n^4}} = \frac{1}{n^{7/2}}\) khi n tiến tới vô cùng. Vì chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^{7/2}}}}} \) hội tụ (chuỗi điều hòa tổng quát với p = 7/2 > 1) nên chuỗi (2) hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.

Vậy cả hai chuỗi (1) và (2) đều hội tụ.