Bạn đã bán khống 500 cổ phiếu của cổ phiếu phổ thông với giá \$32 mỗi cổ phiếu. Mức ký quỹ ban đầu là 60%. Giá cổ phiếu có thể tăng lên bao nhiêu trước khi bạn nhận được thông báo nộp tiền ký quỹ nếu tỷ lệ ký quỹ duy trì là 40%?

Để so sánh trái phiếu chịu thuế và trái phiếu đô thị (miễn thuế), ta cần tính lợi suất sau thuế của trái phiếu chịu thuế. Công thức tính lợi suất sau thuế là: Lợi suất sau thuế = Lợi suất trước thuế * (1 - Thuế suất). Trong trường hợp này, lợi suất sau thuế của trái phiếu chịu thuế là 12% * (1 - 30%) = 12% * 0.7 = 8.4%. Vì 8.4% < 9%, trái phiếu đô thị (miễn thuế) hấp dẫn hơn. Để tìm thuế suất hòa vốn, ta giải phương trình: 12% * (1 - Thuế suất) = 9%. Suy ra, 1 - Thuế suất = 9% / 12% = 0.75. Vậy, Thuế suất = 1 - 0.75 = 0.25 hay 25%. Vì vậy, trái phiếu miễn thuế hấp dẫn hơn và thuế suất hòa vốn là 25%.

Công thức tính độ lệch chuẩn của danh mục đầu tư hai tài sản: σp = √(w_A^2 * σ_A^2 + w_B^2 * σ_B^2 + 2 * w_A * w_B * ρ_AB * σ_A * σ_B)

Trong đó: σp: Độ lệch chuẩn của danh mục w_A, w_B: Tỷ trọng đầu tư vào tài sản A và B σ_A, σ_B: Độ lệch chuẩn của tài sản A và B ρ_AB: Hệ số tương quan giữa A và B

Theo đề bài, ta có: σp = 0, ρ_AB = -1, σ_A = 18%, σ_B = 10%. Thay vào công thức: 0 = √(w_A^2 * 0.18^2 + (1 - w_A)^2 * 0.10^2 + 2 * w_A * (1 - w_A) * (-1) * 0.18 * 0.10)

Bình phương hai vế và đơn giản biểu thức: 0 = w_A^2 * 0.0324 + (1 - 2w_A + w_A^2) * 0.01 + (-0.036w_A + 0.036w_A^2) * (-1) 0 = 0.0324w_A^2 + 0.01 - 0.02w_A + 0.01w_A^2 - 0.036w_A + 0.036w_A^2 0 = 0.0784w_A^2 - 0.056w_A + 0.01

Giải phương trình bậc hai này, ta được: w_A = (0.056 ± √(0.056^2 - 4 * 0.0784 * 0.01)) / (2 * 0.0784) w_A = (0.056 ± √(0.003136 - 0.003136)) / 0.1568 w_A = 0.056 / 0.1568 = 0.35714 ≈ 35.7%

Vậy tỷ trọng đầu tư vào A là 35.7%.

Để so sánh trái phiếu chịu thuế và trái phiếu đô thị (miễn thuế), chúng ta cần tính lợi suất tương đương chịu thuế của trái phiếu đô thị hoặc lợi suất sau thuế của trái phiếu chịu thuế. Trong trường hợp này, ta sẽ tính lợi suất sau thuế của trái phiếu chịu thuế:

Lợi suất sau thuế = Lợi suất trước thuế * (1 - Thuế suất) Lợi suất sau thuế = 14% * (1 - 20%) = 14% * 0.8 = 11.2%

Vì 11.2% > 10%, trái phiếu chịu thuế hấp dẫn hơn sau khi đã xét đến yếu tố thuế.

Để tính thuế suất hòa vốn, ta tìm thuế suất mà tại đó lợi suất sau thuế của trái phiếu chịu thuế bằng với lợi suất của trái phiếu miễn thuế.

14% * (1 - Thuế suất) = 10% 1 - Thuế suất = 10% / 14% = 0.7143 Thuế suất = 1 - 0.7143 = 0.2857 = 28.57%

Vậy, trái phiếu chịu thuế hấp dẫn hơn và thuế suất hòa vốn là 28.57%.

Trong mô hình Markowitz, rủi ro được đo lường bằng độ lệch chuẩn (standard deviation) của lợi nhuận. Đường biên hiệu quả (efficient frontier) thể hiện tập hợp các danh mục đầu tư có tỷ suất sinh lời kỳ vọng cao nhất cho một mức độ rủi ro nhất định, hoặc rủi ro thấp nhất cho một tỷ suất sinh lời kỳ vọng nhất định. Do đó, thước đo rủi ro chính là độ lệch chuẩn của lợi nhuận.

Các lựa chọn khác không chính xác vì:

• Tỷ suất sinh lời kỳ vọng là thước đo lợi nhuận, không phải rủi ro.
• Hệ số beta đo lường rủi ro hệ thống, liên quan đến biến động của một tài sản so với thị trường chung, không phải là thước đo rủi ro trong mô hình Markowitz.
• Giá trị sổ sách trên thị trường là một tỷ lệ tài chính, không liên quan đến đo lường rủi ro trong mô hình danh mục đầu tư.

Trong năm 2009, khoản nợ lớn nhất của các ngân hàng thương mại Hoa Kỳ xét về tổng giá trị là tiền gửi (deposits). Tiền gửi là nguồn vốn chính mà các ngân hàng sử dụng để cho vay và đầu tư. Các khoản vay và cho thuê (loans and leases) là tài sản của ngân hàng, không phải là nợ phải trả. Tiền mặt (cash), bất động sản (real estate) và chứng khoán đầu tư (investment securities) có thể là tài sản của ngân hàng, nhưng không phải là khoản nợ lớn nhất.