Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hỏi có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ?

Đây là bài toán về chỉnh hợp. Ta cần chọn 3 người từ 7 người và sắp xếp họ vào 3 vị trí khác nhau (Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ). Số cách chọn là chỉnh hợp chập 3 của 7, ký hiệu là A(7,3) = 7! / (7-3)! = 7! / 4! = 7 * 6 * 5 = 210.

Để giải bài toán này, ta cần tìm số các chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử (do có 9 chữ số khác nhau từ 1 đến 9). Công thức tính chỉnh hợp chập k của n phần tử là A(n, k) = n! / (n - k)!. Trong trường hợp này, n = 9 và k = 5. Vậy số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, ..., 9 là: A(9, 5) = 9! / (9 - 5)! = 9! / 4! = (9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4!) / 4! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 15120.

Để giải bài toán này, ta cần xem xét vị trí của cụm "123" trong số có 7 chữ số khác nhau.

* Bước 1: Xác định vị trí của cụm "123": Cụm "123" có thể nằm ở các vị trí khác nhau trong số 7 chữ số. Có 5 vị trí có thể, cụ thể là: 123xxxx, x123xxx, xx123xx, xxx123x, xxxx123.

* Bước 2: Chọn các chữ số còn lại: Sau khi xác định vị trí của cụm "123", ta cần chọn 4 chữ số khác nhau từ các chữ số còn lại (0, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Có 7 chữ số này.

* Bước 3: Xét trường hợp chữ số 0: Khi cụm "123" không ở đầu, ta cần trừ đi các trường hợp số 0 đứng đầu. Khi "123" ở vị trí thứ 2 đến thứ 5, có một số trường hợp số 0 đứng đầu, cần phải loại bỏ.
* Trường hợp 1: 123xxxx: Có 7 * 6 * 5 * 4 = 840 cách chọn và sắp xếp 4 chữ số từ 7 chữ số còn lại.
* Trường hợp 2: x123xxx, xx123xx, xxx123x, xxxx123:
* Nếu chữ số đầu tiên không phải là 0, thì có 6 * 6 * 5 * 4 cách chọn.
* Nếu chữ số đầu tiên là 0, thì có 6 * 5 * 4 cách chọn cho các vị trí còn lại.
* Số cách chọn hợp lệ là 6*6*5*4=720. Với mỗi vị trí như vậy, số các số có dạng x123xxx, xx123xx, xxx123x, xxxx123 là: 6 * 6 * 5 * 4 = 720.
Do đó tổng số các số tạo thành là 840 + 4 * 720 = 840 + 2880 = 3720. Tuy nhiên, chúng ta phải trừ đi các trường hợp số 0 đứng đầu khi cụm "123" không ở đầu.
Có 4 vị trí mà "123" không ở đầu. Với mỗi vị trí đó, nếu số 0 đứng đầu, chúng ta còn 6*5*4 cách chọn các số còn lại. Tức là có 4*6*5*4 = 480 trường hợp số 0 đứng đầu. Vậy số các số thỏa mãn là: 3720-480=3240. Tuy nhiên, sau khi kiểm tra lại các bước, nhận thấy có một số sai sót trong tính toán. Chúng ta cần tính toán chính xác hơn.

Tính toán lại:

* Cụm "123" ở đầu (123xxxx): Chọn 4 chữ số từ 7 chữ số còn lại (0, 4, 5, 6, 7, 8, 9) và sắp xếp chúng. Số cách là A(7,4) = 7*6*5*4 = 840.
* Cụm "123" không ở đầu: Có 4 vị trí (x123xxx, xx123xx, xxx123x, xxxx123).
* Chọn chữ số đầu tiên khác 0: Có 6 cách chọn (vì không được chọn 0 và 1, 2, 3).
* Chọn 3 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại và sắp xếp: A(6,3) = 6*5*4 = 120.
* Vậy số cách là 4 * 6 * 120 = 2880.

Tổng số các số là 840 + 2880 = 3720. Tuy nhiên, kết quả này vẫn không khớp với bất kỳ đáp án nào. Chúng ta cần xem xét lại phương pháp.

Nhận xét: Bài toán này khá phức tạp và dễ gây nhầm lẫn. Cách tiếp cận trên có thể không hiệu quả nhất. Có lẽ cần một phương pháp đếm khác.

Kết luận: Do không có đáp án nào trùng khớp với kết quả tính toán (đã kiểm tra lại nhiều lần), và với độ phức tạp của bài toán, có khả năng có sai sót trong đề bài hoặc các phương án trả lời. Vì vậy, không thể xác định đáp án chính xác dựa trên các phương án đã cho.

Số cách chọn 2 viên bi từ 10 viên bi là C(10,2) = 45. Số cách chọn 2 viên bi trắng từ 6 viên bi trắng là C(6,2) = 15. Vậy xác suất để chọn được 2 viên bi trắng là 15/45 = 1/3.

Số học sinh yếu là 30 - 5 - 10 - 10 = 5.
Số cách chọn 3 học sinh từ 30 học sinh là C(30,3) = 30! / (3! * 27!) = (30*29*28) / (3*2*1) = 4060.
Số cách chọn 3 học sinh yếu từ 5 học sinh yếu là C(5,3) = 5! / (3! * 2!) = (5*4) / (2*1) = 10.
Xác suất để chọn được 3 học sinh yếu là: 10 / 4060 = 1 / 406.