Một hộp đựng 10 quả cầu gồm: 2 quả màu đỏ, 3 quả vàng và 5 quả xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó ra 4 quả cầu thì thấy có 2 quả màu xanh. Xác suất chọn được ít nhất 1 quả màu đỏ là:

Số cách chọn 4 quả từ 10 quả là C(10,4) = 210. Số cách chọn 2 quả xanh từ 5 quả xanh là C(5,2) = 10. Số cách chọn 2 quả còn lại từ 5 quả không xanh (2 đỏ, 3 vàng) là C(5,2) = 10. Vậy số cách chọn 4 quả có đúng 2 quả xanh là C(5,2)*C(5,2) = 10*10 = 100. Xác suất để chọn được 4 quả có đúng 2 quả xanh là P = 100/210 = 10/21. Số cách chọn 4 quả có đúng 2 quả xanh và không có quả đỏ nào là số cách chọn 2 quả xanh từ 5 quả xanh nhân với số cách chọn 2 quả vàng từ 3 quả vàng, tức là C(5,2)*C(3,2) = 10*3 = 30. Xác suất để chọn được 4 quả có đúng 2 quả xanh và không có quả đỏ nào là P(không đỏ) = 30/210 = 1/7. Xác suất để chọn được 4 quả có đúng 2 quả xanh và có ít nhất 1 quả đỏ là P(ít nhất 1 đỏ) = P - P(không đỏ) = 10/21 - 1/7 = 10/21 - 3/21 = 7/21 = 1/3 ≈ 0.3333 = 33.33%. Tuy nhiên, cách giải trên chỉ xét trường hợp có đúng 2 quả xanh. Đề bài chỉ nói "thấy có 2 quả màu xanh" nên ta cần tính xác suất chọn được 4 quả có 2 quả xanh. Số cách chọn 4 quả bất kỳ là C(10,4) = 210. Gọi A là biến cố chọn được 4 quả có ít nhất 1 quả đỏ. Gọi A' là biến cố chọn được 4 quả không có quả đỏ nào (tức là chỉ có quả vàng và quả xanh). Số cách chọn 4 quả không có quả đỏ nào là C(8,4) = 70 (chọn 4 quả từ 8 quả vàng và xanh). Tuy nhiên, ta chỉ chọn 4 quả trong đó có 2 quả xanh. Suy ra 2 quả còn lại phải là vàng. Số cách chọn là C(5,2) * C(3,2) = 10 * 3 = 30. Vậy xác suất chọn được ít nhất 1 quả đỏ là 1 - P(không có quả đỏ nào) = 1 - 30/210 = 1 - 1/7 = 6/7 ≈ 0.8571 = 85.71%. Tính lại: Số cách chọn 2 xanh: C(5,2) = 10 Số cách chọn 2 quả còn lại từ 5 quả (2 đỏ, 3 vàng) là C(5,2) = 10 Tổng số cách chọn là 10*10 = 100 Số cách chọn 2 xanh và không có đỏ: C(5,2) * C(3,2) = 10 * 3 = 30 Số cách chọn 2 xanh và có ít nhất 1 đỏ: 100 - 30 = 70 Xác suất = 70/210 = 1/3 ≈ 33.33%. Tuy nhiên, không có đáp án nào gần với kết quả này. Có lẽ đề bài hoặc các đáp án có vấn đề. Giả sử đáp án B là 33%, thì đáp án B gần đúng nhất. Nếu đề bài hỏi xác suất chọn được ít nhất 1 quả đỏ TRONG 4 QUẢ ĐƯỢC CHỌN, thì: Số cách chọn 4 quả bất kỳ: C(10,4) = 210 Số cách chọn 4 quả KHÔNG có quả đỏ nào (chỉ chọn từ 3 vàng và 5 xanh): C(8,4) = 70 Xác suất không có quả đỏ nào: 70/210 = 1/3 Xác suất có ít nhất 1 quả đỏ: 1 - 1/3 = 2/3 ≈ 0.6667 ≈ 66.67%. Vậy đáp án B gần đúng nhất. Nếu đề bài hỏi: Biết rằng trong 4 quả cầu được chọn có đúng 2 quả màu xanh. Tính xác suất để trong 4 quả đó có ít nhất 1 quả màu đỏ. Tổng số cách chọn 4 quả có đúng 2 quả xanh là C(5,2) * C(5,2) = 10 * 10 = 100. Số cách chọn 4 quả có đúng 2 quả xanh và không có quả đỏ nào là C(5,2) * C(3,2) = 10 * 3 = 30. Số cách chọn 4 quả có đúng 2 quả xanh và có ít nhất 1 quả đỏ là 100 - 30 = 70. Vậy xác suất là 70/100 = 0.7 = 70%.