Dan và Karen sống cách nhau 10 dặm và gặp nhau ở 1 quán cafe ở hướng bắc nhà Dan và hướng Đông nhà Karen. Nếu quán cafe gần nhà Dan hơn nhà Karen 2 dặm thì từ nhà Karen tới quán bao nhiêu dặm

Bài toán kiểm tra khả năng áp dụng định lý Pytago trong hình học không gian. Gọi D là vị trí nhà Dan, K là vị trí nhà Karen, và Q là vị trí quán cafe. Theo đề bài, khoảng cách giữa Dan và Karen là 10 dặm (DK = 10). Quán cafe nằm ở hướng Bắc nhà Dan và hướng Đông nhà Karen. Điều này có nghĩa là nếu ta coi nhà Dan là gốc tọa độ (0,0), thì nhà Karen sẽ ở tọa độ (0, -10) hoặc (10, 0) hoặc (-10, 0) hoặc (0, 10). Tuy nhiên, cách diễn đạt "hướng Bắc nhà Dan" và "hướng Đông nhà Karen" gợi ý một hệ tọa độ vuông góc. Giả sử nhà Dan ở tọa độ (0,0). Quán cafe ở hướng Bắc nhà Dan, nên tọa độ quán Q có dạng (x, y) với y > 0. Nhà Karen ở hướng Đông nhà Dan, nên tọa độ nhà Karen K có dạng (x', 0) với x' > 0. Khoảng cách DK = 10. Tuy nhiên, cách diễn đạt "hướng Bắc nhà Dan" và "hướng Đông nhà Karen" kết hợp với việc gặp nhau tại quán cafe cho thấy có thể hiểu như sau: D và K tạo thành hai đỉnh của một tam giác vuông với quán cafe Q là đỉnh góc vuông. Nếu vậy, D và K nằm trên hai trục vuông góc với nhau tại Q. Tuy nhiên, đề bài lại cho khoảng cách giữa Dan và Karen là 10 dặm. Cách diễn đạt "hướng Bắc nhà Dan" và "hướng Đông nhà Karen" nên được hiểu là Dan và Karen ở hai vị trí có tọa độ mà khi nối với quán cafe sẽ tạo thành hai cạnh vuông góc. Xét trường hợp đơn giản: Dan ở A, Karen ở B, quán cafe ở C. C nằm về phía Bắc của A và phía Đông của B. Nếu A là (0,0), thì C là (x, y) với x>0, y>0. Nếu B nằm về phía Nam của C, thì B có tọa độ (x, y-h). Tuy nhiên, cách diễn đạt "hướng Bắc nhà Dan" và "hướng Đông nhà Karen" gợi ý rằng đường thẳng nối Dan với quán cafe và đường thẳng nối Karen với quán cafe là vuông góc. Tức là, tam giác DKQ là tam giác vuông tại Q. Gọi DQ = a và KQ = b. Ta có a là khoảng cách từ nhà Dan đến quán cafe, và b là khoảng cách từ nhà Karen đến quán cafe. Theo đề bài, quán cafe gần nhà Dan hơn nhà Karen 2 dặm, tức là a = b - 2. Khoảng cách giữa nhà Dan và nhà Karen là 10 dặm, tức là DK = 10. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông DKQ: DQ^2 + KQ^2 = DK^2. Thay a và b vào: a^2 + b^2 = 10^2. Ta có hệ phương trình: 1) a = b - 2 2) a^2 + b^2 = 100. Thay (1) vào (2): (b - 2)^2 + b^2 = 100. b^2 - 4b + 4 + b^2 = 100. 2b^2 - 4b - 96 = 0. Chia cả hai vế cho 2: b^2 - 2b - 48 = 0. Phân tích phương trình bậc hai: (b - 8)(b + 6) = 0. Vì b là khoảng cách nên b > 0. Do đó, b = 8. Khoảng cách từ nhà Karen đến quán cafe là 8 dặm. Kiểm tra lại: Nếu b = 8, thì a = b - 2 = 8 - 2 = 6. a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100. DK = sqrt(100) = 10. Điều này khớp với đề bài. Vậy, từ nhà Karen tới quán cafe là 8 dặm.