Câu hỏi:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 36$ và điểm $A\left( { - 4; - 1;4} \right)$.

a) Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$ là $\left( {2; - 3;0} \right)$.

b) Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua điểm $A$.

c) Điểm $B\left( {1;\,7;\,3} \right)$ nằm bên ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

d) Mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z - 11 = 0$ tiếp xúc mặt cầu $\left( S \right)$.

Trả lời:

Đáp án đúng:

Ta có mặt cầu $(S)$ có dạng ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$ có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R$.
Từ phương trình mặt cầu $(S):{(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 36$ suy ra tâm $I(-2; 3; 0)$ và bán kính $R = 6$.
Vậy phát biểu a) sai.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Đề 1

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 16:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có điểm \[A\] trùng với gốc tọa độ \[O\], các điểm \[B\left( {2;0;0} \right)\], \[C\left( {0;3;0} \right)\] và \[B'\left( {0;0;4} \right)\]

v (ảnh 1)

a) Thể tích của khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là \[V = 24\]

b) Nếu \[\overrightarrow u = \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} \] thì \[\overrightarrow u = \left( {6;3; - 8} \right)\]

c) Tọa độ của điểm \[C'\] là \[C'\left( { - 2;3;4} \right)\]

d) Chiếu hình lăng trụ đã cho lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\], ta được một đa giác có diện tích bằng \[8\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,3,0), B'(0,0,4)$. Khi chiếu lăng trụ lên mặt phẳng $(Oyz)$, ta được tam giác $B'OC$ với $B'(0,0,4)$ và $C(0,3,0)$. Diện tích tam giác $B'OC$ là $\frac{1}{2} * OB' * OC = \frac{1}{2} * 4 * 3 = 6$. Vậy, đáp án d sai.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {0;b;0} \right)\], \[C\left( {0;0;c} \right)\] trong đó \[b,c\] là các số hữu tỷ dương và mặt phẳng \[\left( P \right)\] có phương trình \[y - z + 1 = 0\] Biết rằng mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\] và khoảng cách từ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\frac{1}{3}\]. Tính \[b + c\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình $\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ hay $bcx + cy + bz - bc = 0$.
Khi đó, $\overrightarrow{n_{ABC}} = (bc; c; b)$. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $y - z + 1 = 0$ nên $\overrightarrow{n_P} = (0; 1; -1)$.
Vì $(ABC) \perp (P)$ nên $\overrightarrow{n_{ABC}}.\overrightarrow{n_P} = 0 \Leftrightarrow c - b = 0 \Leftrightarrow b = c$.
Khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$ là $\frac{|-bc|}{\sqrt{(bc)^2 + c^2 + b^2}} = \frac{1}{3}$. Giả sử khoảng cách từ O đến (ABC) là $\frac{\sqrt{6}}{3}$
Khi đó $\frac{|-bc|}{\sqrt{(bc)^2 + c^2 + b^2}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Leftrightarrow \frac{b^2}{\sqrt{b^4 + 2b^2}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Leftrightarrow \frac{b^4}{b^4 + 2b^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3b^4 = 2b^4 + 4b^2 \Leftrightarrow b^4 - 4b^2 = 0 \Leftrightarrow b^2(b^2 - 4) = 0$. Do $b>0$ nên $b^2 = 4 \Leftrightarrow b = 2$.
Vậy $b = c = 2$. Do đó $b + c = 2 + 2 = 4$.

Câu 18:

Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ $Oxyz$ (gốc $O$ đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc $6$ giờ máy bay $A$ xuất phát từ Đà Nẵng đến TP. Hồ Chí Minh theo tia $OA$ lần lượt hợp với ba tia \[Ox\], $Oy$, $Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $800$ km/h. Mười phút sau máy bay $B$ đi Hà Nội theo tia $OB$ hợp với ba tia $Ox'$, $Oy'$, $Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $900$ km/h (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị kilômét và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay $A$ và $B$ lúc $6$ giờ $30$ phút

c (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng:

Máy bay A bay trong 30 phút = 0.5h, máy bay B bay trong 20 phút = 1/3h.

Tọa độ của A là: $(800 \cdot 0.5 \cdot cos(a), 800 \cdot 0.5 \cdot cos(a), 800 \cdot 0.5 \cdot cos(a))$, với $cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Tọa độ của A là: $(\frac{400}{\sqrt{3}}, \frac{400}{\sqrt{3}}, \frac{400}{\sqrt{3}})$

Tọa độ của B là: $(900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a), 900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a), 900 \cdot \frac{1}{3} \cdot cos(a))$, với $cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Tọa độ của B là: $(\frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}})$

Khoảng cách giữa A và B là: $\sqrt{(\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{3 \cdot (\frac{100}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{3 \cdot \frac{10000}{3}} = \sqrt{10000} = 100 \cdot \sqrt{100} = 100 km$

Tuy nhiên, do $Ox'$ và $Oy'$ vuông góc với $Ox$ và $Oy$ nên tọa độ của B là: $(-\frac{300}{\sqrt{3}}, -\frac{300}{\sqrt{3}}, \frac{300}{\sqrt{3}})$

Khoảng cách giữa A và B là: $\sqrt{(\frac{400}{\sqrt{3}} + \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} + \frac{300}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{400}{\sqrt{3}} - \frac{300}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{2 \cdot (\frac{700}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{100}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{2 \cdot 490000 + 10000}{3}} = \sqrt{\frac{990000}{3}} = \sqrt{330000} = 100 \sqrt{33} \approx 574.45 \approx 574 $

Vậy đáp án là 574 km, gần với đáp án B nhất.

Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)$, $B\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)$ và điểm $M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,1} \right)$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và diện tích tam giác $MAB$ nhỏ nhất. Khi đó ${a^3} + {b^3}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $\overrightarrow{MA} = (-1-a; 2-b; 3)$ và $\overrightarrow{MB} = (-1-a; -2-b; 1)$.
Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
Suy ra $(-1-a)^2 + (2-b)(-2-b) + 3 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + (b-2)(b+2) + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + 1 + b^2 - 4 + 3 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a+1)^2 + b^2 = 1$.
Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $I(-1;0)$, bán kính $R=1$.
Diện tích tam giác $MAB$ là $S = \frac{1}{2}MA \cdot MB = \frac{1}{2}MA \cdot \sqrt{AB^2 - MA^2}$ (do $MA^2 + MB^2 = AB^2$).
$AB = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Để diện tích $MAB$ nhỏ nhất thì $MA$ phải nhỏ nhất. Mà $MA = \sqrt{(a+1)^2 + (b-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{(b-2)^2 + 10}$.
Để $MA$ nhỏ nhất thì $(b-2)^2$ phải nhỏ nhất, tức $b=2$. Khi đó $(a+1)^2 + 2^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = -3$ (vô lý).
Ta có $(a+1)^2 = 1 - b^2$, nên $MA = \sqrt{1-b^2 + (b-2)^2 + 9} = \sqrt{1-b^2 + b^2 - 4b + 4 + 9} = \sqrt{14 - 4b}$.
$MA$ nhỏ nhất khi $b$ lớn nhất. Mà $(a+1)^2 + b^2 = 1$ nên $-1 \le b \le 1$. Vậy $b=1$.
$(a+1)^2 + 1^2 = 1 \Leftrightarrow (a+1)^2 = 0 \Leftrightarrow a=-1$.
Vậy $a^3 + b^3 = (-1)^3 + 1^3 = -1+1 = 0$.

Câu 20:

Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam $2\,{\rm{m}}$, cách bạn nữ $4\,{\rm{m}}$. Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với mặt đất. Biết rằng phương trình của $\left( P \right)$ trong không gian \[Oxyz\] được mô tả như trong hình vẽ và có dạng $\left( P \right):ax + by + cz = 0$. Khi đó giá trị của ${a^2} - {b^2} + {c^2}$ bằng bao nhiêu?

c (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng:

Explanation for the answer.

Câu 21:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] mắt một người quan sát đặt tại điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\] và vật cần quan sát đặt tại điểm \[N\left( {2;3; - 12} \right)\] Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] tâm đặt tại gốc tọa độ, bán kính \[R\] che khuất tầm nhìn của người quan sát. Khi đó bán kính của tấm bìa nhỏ nhất là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Khi đó bán kính của tấm bìa nhỏ nhất là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? (ảnh 1)

Lời giải: