Câu hỏi:

Mặt phẳng $(\alpha): \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{-1}=1$ có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ thì vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (A; B; C)$.

Ta biến đổi phương trình mặt phẳng $(\alpha)$:

• $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{-1}=1$
• $\Leftrightarrow \dfrac{3x + 2y - 6z}{6} = 1$
• $\Leftrightarrow 3x + 2y - 6z = 6$
• $\Leftrightarrow 3x + 2y - 6z - 6 = 0$

Vậy vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = (3; 2; -6)$ hoặc $(2; 3; -1)$

Vì đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên vectơ chỉ phương của $d$ cũng là vectơ pháp tuyến của $(P)$.

Vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u} = (4; -1; 3)$.

Do đó, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(4\,;\,-1\,;\,3)$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, với $A, B, C$ không đồng thời bằng 0.
Phương trình $x+y+z=1$ có thể viết lại thành $x+y+z-1=0$, nên nó là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Các phương trình còn lại không phải là phương trình bậc nhất đối với $x, y, z$ nên không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Đường thẳng $\Delta$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u} = (-2; 1; 2)$ và đi qua điểm $A(1; 0; 1)$.

Đường thẳng $\Delta'$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u'} = (7; -2; -5)$.

Vì $\Delta'$ là hình chiếu của $\Delta$ trên $(P)$ nên $\overrightarrow{u'}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{u}$ trên $(P)$.

Gọi $\overrightarrow{n} = (a; b; c)$ là vector pháp tuyến của $(P)$. Vì $M(1; 1; 0) \in (P)$ nên $(P)$ có dạng $a(x-1) + b(y-1) + cz = 0$.

Vì $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $\overrightarrow{u'}$ (do $\overrightarrow{u'}$ nằm trên $(P)$) nên $7a - 2b - 5c = 0$. (1)

Gọi $A'$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$. Khi đó $\overrightarrow{AA'} = t\overrightarrow{n}$ hay $A' = (1+at; at; 1+ct)$.

Vì $A' \in (P)$ nên $a(1+at-1) + b(at-1) + c(1+ct) = 0 \Leftrightarrow a^2t + abt - b + c + c^2t = 0 \Leftrightarrow t(a^2 + c^2 + ab) = b - c$.

Mặt khác $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u'} = (-9; 3; 7)$ cùng phương với $\overrightarrow{n}$.

Suy ra $\dfrac{a}{-9} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{7} \Leftrightarrow a = -3b; c = \dfrac{-7b}{3}$. Thay vào (1) ta có:

$7(-3b) - 2b - 5(\dfrac{-7b}{3}) = 0 \Leftrightarrow -21b - 2b + \dfrac{35b}{3} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{-63b - 6b + 35b}{3} = 0 \Leftrightarrow -34b = 0 \Leftrightarrow b = 0$.

$\Rightarrow a = 0; c = 0$, vô lý.

Ta có $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u'})$ và $\overrightarrow{u'}$.

$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u'} = (-2 - 7; 1 - (-2); 2 - (-5)) = (-9; 3; 7)$.

$\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{u'} , (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u'}) ] = ((-2).7 - (-5).3; -5.(-9) - 7.7; 7.3 - (-2).(-9)) = (1; -4; 3) \parallel (1; 2; 1)$.

Hoặc $\overrightarrow{n} = [(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u'}), \overrightarrow{u'}] = (3.(-5) - 7.(-2); 7.7 - (-9).(-5); -9.(-2) - 3.7) = (-1; 4; -3)$.

Vậy $\overrightarrow{n}=(1;2;1)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ có tọa độ là $\overrightarrow{n} = (A; B; C)$.
Vậy mặt phẳng $(P): 2x - y + 3z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (2; -1; 3)$.