Câu hỏi:

Gọi $h$ là độ cao ban đầu của vật, $t$ là thời gian vật rơi. Quãng đường vật rơi trong 3s cuối là $\frac{1}{5}h$. Quãng đường vật rơi trong thời gian $t$ là: $h = \frac{1}{2}gt^2 = 5t^2$ (1) Quãng đường vật rơi trong thời gian $(t-3)$ là: $h - \frac{1}{5}h = \frac{4}{5}h = \frac{1}{2}g(t-3)^2 = 5(t-3)^2$ (2) Từ (1) và (2) ta có: $\frac{4}{5} (5t^2) = 5(t-3)^2 \Rightarrow 4t^2 = 5(t^2 - 6t + 9) \Rightarrow 4t^2 = 5t^2 - 30t + 45 \Rightarrow t^2 - 30t + 45 = 0$ Giải phương trình bậc 2 ta được: $\Delta = (-30)^2 - 4(1)(45) = 900 - 180 = 720$ $t_1 = \frac{30 + \sqrt{720}}{2} \approx 28.44 s$ $t_2 = \frac{30 - \sqrt{720}}{2} \approx 1.56 s$ (loại vì $t>3$) Thay $t = 28.44$ vào (1) ta được: $h = 5(28.44)^2 \approx 4043.36 m$. Điều này không hợp lý vì quãng đường vật đi được trong 3s cuối lớn hơn độ cao ban đầu. Ta có: Quãng đường đi được trong (t-3) giây là $\frac{4h}{5}$. $\Rightarrow h - \frac{4h}{5} = \frac{1}{2}gt^2 - \frac{1}{2}g(t-3)^2 $ $\Rightarrow \frac{h}{5} = 5t^2 - 5(t^2 -6t+9) = 30t-45 \Rightarrow h = 150t - 225$ (3) Từ (1) ta có $h = 5t^2$ thay vào (3): $5t^2 = 150t - 225 \Rightarrow t^2 - 30t + 45 = 0 \Rightarrow t = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2}$ Loại nghiệm $t < 3$. Vậy $t = 15 + \sqrt{180} = 15 + 6\sqrt{5} \approx 28.416$ s. $h = 5t^2 = 5(15 + 6\sqrt{5})^2 = 5(225 + 180\sqrt{5} + 180) = 5(405 + 180\sqrt{5}) = 2025 + 900\sqrt{5} \approx 4040.5 \, m$. Đáp án này cũng không hợp lý. Xem lại đề bài. Giải lại: Trong 3 giây cuối vật đi được 1/5 quãng đường. Vậy 4/5 quãng đường đi trong t-3 giây. $h = \frac{1}{2}gt^2 = 5t^2$ $\frac{4}{5}h = \frac{1}{2}g(t-3)^2 \rightarrow \frac{4}{5} (5t^2) = 5(t-3)^2 \rightarrow 4t^2 = 5t^2 - 30t + 45 \rightarrow t^2 - 30t + 45 = 0$ $t = \frac{30 \pm \sqrt{30^2 - 4*45}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2} = 15 \pm 6\sqrt{5}$ Vì t > 3, t = 15 + 6$\sqrt{5} \approx 28.4 s$ $h = 5t^2 = 5(15 + 6\sqrt{5})^2 = 5(225 + 180\sqrt{5} + 36*5) = 5(405 + 180\sqrt{5}) \approx 4040 m$. Vậy $h/5 \approx 808 m > \frac{1}{2}gt^2 = 5 * 3^2 = 45m$. Vậy $t<3$ loại. Giả sử 3s cuối đi được 1/5h, vậy trước đó đi 4/5h. $h = \frac{1}{2}gt^2$ và $\frac{4}{5}h = \frac{1}{2}g(t-3)^2$ suy ra $h = 5t^2$ và $\frac{4}{5}5t^2 = 5(t-3)^2 suy ra 4t^2 = 5(t^2-6t+9)$ suy ra $t^2 - 30t + 45 = 0$ suy ra $t \approx 1.6$ hoặc $t\approx 28.4$. Loại t=1.6 vì t>3. Vậy $h = 5*(28.4)^2 = 4032.8$. Vậy h/5 = 806.56. Trong 3s cuối đi 1/5h. Vậy 2/5h đi trong 2s cuối. 3/5h đi trong 1s cuối. Quãng đường đi trong 3s cuối là h/5. $h/5 = v_0*3 + 1/2*g*3^2 = v_0*3 + 45$ suy ra $v_0 = h/15 - 15$. $h = v_0t + 1/2 gt^2 = (h/15-15)t + 5t^2$ suy ra $h = h*t/15 - 15t + 5t^2$. Đề có vấn đề.