Câu hỏi:

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha $ (đúng)


• Đáp án B: $\sin\left( {\pi + \alpha } \right) = -\sin\alpha $ (sai)


• Đáp án C: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = -\sin \alpha $ (sai)


• Đáp án D: $\tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \tan(2\alpha)$ (sai vì $\tan(2\alpha) \neq \cot(2\alpha)$)

Vậy đáp án đúng là A.

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ (đúng).
• Đáp án B: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ (đúng).
• Đáp án C: $\sin 4\alpha = 2 \cdot \sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha = 2 \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cdot (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 4 \sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) $ (sai).
• Đáp án D: $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ (đúng).

Vậy đáp án sai là C.

Ta có: $\sin x = \frac{2}{3}$

Suy ra: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Vì vậy: $\cos x = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

Ta có: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2.\frac{2}{3}.(\pm \frac{\sqrt{5}}{3}) = \pm \frac{4\sqrt{5}}{9}$

Do đó: $P = \sin 2x.\cos x = \left( \pm \frac{4\sqrt{5}}{9} \right) \left( \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \right) = \frac{4\sqrt{5}}{9}.\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4.5}{27} = \frac{20}{27}$

Hàm số $y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ xác định khi và chỉ khi:
$x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
$ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
$ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.
Có lẽ đáp án A bị lỗi đánh máy, đáp án đúng phải là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.
Tuy nhiên, đáp án gần đúng nhất là đáp án B (có dấu trừ phía trước, nhưng giá trị $\pi/6$ là đúng).
Ta có $\tan(x + \frac{\pi}{3})$ xác định khi $x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, suy ra $x \neq \frac{\pi}{6} + k\pi$. Vậy đáp án gần đúng nhất là B.

• Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn $f(-x) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.


• Xét $y = \tan x$, ta có $\tan(-x) = -\tan x$, vậy đây là hàm số lẻ.


• Xét $y = \sin x$, ta có $\sin(-x) = -\sin x$, vậy đây là hàm số lẻ.


• Xét $y = \cos x$, ta có $\cos(-x) = \cos x$, vậy đây là hàm số chẵn.


• Xét $y = \cot x$, ta có $\cot(-x) = -\cot x$, vậy đây là hàm số lẻ.

Vậy đáp án là $y = \cos x$.