Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình ${\left( {\frac{2}{e}} \right)^{{x^2} + 2mx + 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x - 3m}}$ nghiệm đúng với mọi $x$.

A. $m \in \left( { - 5;0} \right)$.

B. $m \in \left[ { - 5;0} \right]$.

C. $m \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$.

D. $m \in \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)$.

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có: ${\left( {\frac{2}{e}} \right)^{{x^2} + 2mx + 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x - 3m}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{e}} \right)^{{x^2} + 2mx + 1}} \le {\left( {\frac{2}{e}} \right)^{ - 2x + 3m}} $.
Vì $\frac{2}{e} < 1$ nên bất phương trình tương đương với:
${x^2} + 2mx + 1 \ge - 2x + 3m \Leftrightarrow {x^2} + 2(m + 1)x + 1 - 3m \ge 0$ đúng với mọi $x$.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - (1 - 3m) \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 1 + 3m \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 5m \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le m \le 0$.
Vậy $m \in \left[ { - 5;0} \right]$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Luyện đề thi Chủ đề Phương trình và bất phương trình Mũ và Lôgarit - Đề 2

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 13:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho phương trình lượng giác $3 - \sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0$.

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 $.

b) Phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

c) Phương trình đã cho có nghiệm âm lớn nhất bằng $ - \frac{\pi }{3}.$

d) Khi $\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{2\pi }}{3}$ thì phương trình đã cho có ba nghiệm

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) Ta có $3 - \sqrt{3} \tan(2x - \frac{\pi}{3}) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} \tan(2x - \frac{\pi}{3}) = 3 \Leftrightarrow \tan(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Vậy a) là đúng.

b) $\tan(2x - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} = \tan(\frac{\pi}{3}) \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Vậy b) là sai.

c) $x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}$. Nghiệm âm lớn nhất ứng với $k = -1$, khi đó $x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$. Vậy c) là sai.

d) Ta có $\frac{-\pi}{4} < x < \frac{2\pi}{3} \Leftrightarrow \frac{-\pi}{4} < \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} \Leftrightarrow \frac{-\pi}{4} - \frac{\pi}{3} < \frac{k\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} \Leftrightarrow \frac{-7\pi}{12} < \frac{k\pi}{2} < \frac{\pi}{3} \Leftrightarrow \frac{-7}{6} < k < \frac{2}{3}$. Vậy $k \in \{-1, 0\}$. Do đó phương trình có hai nghiệm. Vậy d) là sai.

Câu 14:

Cho phương trình $\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\cos x - m + 1} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)$, với $m$ là tham số.

a) Phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có nghiệm \[x = \frac{{5\pi }}{2}\].

b) Khi $m = 4$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có tập nghiệm là $\left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

c) Khi $m = 3$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm trên đoạn $\left[ {0\,;\,2\pi } \right].$

d) Phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng 3 nghiệm trên đoạn $\left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ khi và chỉ khi $ - 1 < m < 1.$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Xét phương trình $\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\cos x - m + 1} \right) = 0$.

Ta có $\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z$.

a) Với $x = \frac{{5\pi }}{2} = \frac{\pi }{2} + 2\pi $ là nghiệm của phương trình.

b) Với $m = 4$ ta có $2\cos x - 4 + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{3}{2}$ (vô nghiệm). Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z$.

c) Với $m = 3$ ta có $2\cos x - 3 + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in Z$. Trên đoạn $[0;2\pi ]$ phương trình có các nghiệm $x = 0;x = 2\pi $. Vậy phương trình có 3 nghiệm trên đoạn $[0;2\pi ]$.

d) $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $.

$2\cos x - m + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{m - 1}}{2}$.

Để phương trình có đúng 3 nghiệm trên $[0;\frac{{3\pi }}{2}]$ thì phương trình $\cos x = \frac{{m - 1}}{2}$ phải có 2 nghiệm trên $[0;\frac{{3\pi }}{2}]$, trong đó 1 nghiệm là $\frac{\pi }{2}$.

$\Rightarrow \frac{{m - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow m = 1$ (loại vì khi đó có nghiệm bội).

Hoặc phương trình $\cos x = \frac{{m - 1}}{2}$ có nghiệm duy nhất khác $\frac{\pi }{2}$ trên $[0;\frac{{3\pi }}{2}]$.

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{{m - 1}}{2} = 1\\\frac{{m - 1}}{2} = - 1\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}m = 3\\m = - 1\end{array}} \right.$.

Vậy chỉ có đáp án b) đúng.

Câu 15:

Cho phương trình ${2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1$.

a) Khi $m = 1$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số $m$.

c) Khi $m = 2$ thì phương trình có 2 nghiệm ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} \cdot {x_2} = {\log _2}3$.

d) Có tất cả $6$ giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - 1\,;\,2} \right]$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta xét từng đáp án:

Đáp án a): Khi $m=1$ thì phương trình trở thành $2^{x^2-2x} = 1 \Leftrightarrow x^2-2x=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt, nên a) đúng.

Đáp án b): Ta có $x^2 - 2x = (x-1)^2 -1 \ge -1$, nên $2^{x^2-2x} \ge 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Để phương trình có nghiệm thì $m^2 - m + 1 \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow m^2 - m + \frac{1}{2} \ge 0 \Leftrightarrow (m-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} > 0$. Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$, nên b) đúng.

Đáp án c): Khi $m=2$ thì phương trình trở thành $2^{x^2-2x} = 3 \Leftrightarrow x^2-2x = \log_2 3 \Leftrightarrow x^2-2x - \log_2 3 = 0$. Khi đó, theo định lý Vi-et, $x_1 \cdot x_2 = -\log_2 3 \neq \log_2 3$. Vậy c) sai.

Đáp án d): Để $x \in [-1, 2]$ thì $-1 \le x \le 2$. Xét hàm số $f(x) = x^2 - 2x$ trên đoạn $[-1, 2]$. Ta có $f'(x) = 2x-2$, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Ta có $f(-1) = 3$, $f(2) = 0$, $f(1) = -1$. Vậy $-1 \le f(x) \le 3$. Khi đó $-1 \le x^2-2x \le 3 \Leftrightarrow 2^{-1} \le 2^{x^2-2x} \le 2^3 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le m^2 - m + 1 \le 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le m^2 - m + 1$ và $m^2 - m + 1 \le 8$.
- $m^2 - m + 1 \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow m^2 - m + \frac{1}{2} \ge 0$ (luôn đúng).
- $m^2 - m + 1 \le 8 \Leftrightarrow m^2 - m - 7 \le 0$. Giải bất phương trình này ta được $\frac{1 - \sqrt{29}}{2} \le m \le \frac{1 + \sqrt{29}}{2}$. Vì $\sqrt{29} \approx 5.4$ nên $-2.2 \le m \le 3.2$. Các giá trị nguyên của $m$ là $-2, -1, 0, 1, 2, 3$. Vậy có 6 giá trị, nên d) đúng.

Vậy đáp án đúng là a) đúng, b) đúng, c) sai, d) đúng.

Câu 16:

Cho bất phương trình ${\log _{\frac{1}{{10}}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) \ge 0$, có tập nghiệm là $S = \left[ {a;b} \right]$.

a) Điều kiện của bất phương trình là $x \in \mathbb{R}$.

b) Bất phương trình có chung tập nghiệm với ${x^2} - 5x + 6 \le 0$.

c) $a;b;5$ là ba số lập thành một cấp số cộng.

d) \[\left[ {a;b} \right] \cup \left( {2;9} \right) = \left[ {c;d} \right)\], khi đó ${c^2} + {d^2}$ là số chính phương

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có: ${\log _{\frac{1}{{10}}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 7 \le 1 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le 0$. Vậy bất phương trình có chung tập nghiệm với ${x^2} - 5x + 6 \le 0$.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _4}{\left( {x - 5} \right)^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}8 = 0\] bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có phương trình: ${\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _4}{\left( {x - 5} \right)^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}8 = 0$

Điều kiện: $x > -2$ và $x \neq 5$

Phương trình tương đương: ${\log _2}(x + 2) + \frac{1}{2}{\log _2}{(x - 5)^2} - 3 = 0$

${\log _2}(x + 2) + {\log _2}|x - 5| - 3 = 0$

${\log _2}[(x + 2)|x - 5|] = 3$

$(x + 2)|x - 5| = 8$

Xét 2 trường hợp:

* Trường hợp 1: $x > 5$, phương trình trở thành: $(x + 2)(x - 5) = 8 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 10 = 8 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow (x - 6)(x + 3) = 0$. Nghiệm $x = 6$ (thỏa mãn) hoặc $x = -3$ (loại).

* Trường hợp 2: $-2 < x < 5$, phương trình trở thành: $(x + 2)(5 - x) = 8 \Leftrightarrow -x^2 + 3x + 10 = 8 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 2 = 0$.

$x = \frac{{3 \pm \sqrt {17} }}{2}$. Ta thấy chỉ có $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}$ thỏa mãn $-2 < x < 5$.

Vậy tổng các nghiệm là $6 + \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} = \frac{{15 + \sqrt {17} }}{2}$. Đáp án không có trong các lựa chọn. Kiểm tra lại:

${\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _4}{\left( {x - 5} \right)^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}8 = 0 \Leftrightarrow {\log _2}(x+2) + \log_2 |x-5| -3 = 0 \Leftrightarrow (x+2)|x-5| = 8$.

Nếu $x>5$: $(x+2)(x-5)=8 \Leftrightarrow x^2 -3x -18=0 \Leftrightarrow (x-6)(x+3)=0 \Leftrightarrow x=6$.

Nếu $-2
Tổng nghiệm là $6 + \frac{3+\sqrt{17}}{2} = \frac{15+\sqrt{17}}{2} \approx 9.56$

Có lẽ đề bài sai. Nghiệm $x=6$

${\log _2}(6+2) + \log_4(6-5)^2 + \log_{1/2} 8 = {\log_2 8} + {\log_4 1} -3 = 3 + 0 -3 =0$.

Nghiệm $x = \frac{3+\sqrt{17}}{2}$.

${\log_2(\frac{3+\sqrt{17}}{2}+2)} + {\log_4(\frac{3+\sqrt{17}}{2}-5)^2} + {\log_{1/2} 8} = {\log_2(\frac{7+\sqrt{17}}{2})} + {\log_4(\frac{-7+\sqrt{17}}{2})^2} -3 = {\log_2(\frac{7+\sqrt{17}}{2})} + {\log_4(\frac{49 -14\sqrt{17}+17}{4})} -3 = {\log_2(\frac{7+\sqrt{17}}{2})} + {\log_4(\frac{66 -14\sqrt{17}}{4})} -3 $.

Tổng các nghiệm thỏa mãn là $6$ và $x = \frac{3+\sqrt{17}}{2}$. Chỉ có $x=2$ là không thỏa mãn. Vậy đáp án gần đúng là 6.

Câu 18:

Một cái cổng vào một trung tâm thương mại có hình dạng là một phần của đồ thị hàm số $y = 2\cos \frac{x}{2} + 2$. Gọi $A,B$ là hai điểm nằm trên cổng (trên đồ thị hàm số $y = 2\cos \frac{x}{2} + 2$ và $C,D$là hai điểm nằm trên mặt nền của cổng sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Người quản lí trung tâm thương mại muốn lắp một cái cửa kính tự động vào hình chữ nhật $ABCD$. Tính diện tích của cái cửa cần lắp biết chiều cao của cái cửa là $AD = 3$ mét (kết quả làm tròn đến hàng phần chục; lấy $\pi = 3,14$; đơn vị diện tích là mét vuông)

Lời giải: