Câu hỏi:

Để hàm số $y = (m-1)x^4 + (2m-3)x^2 + 1$ có đúng một điểm cực trị, ta xét các trường hợp sau: * Trường hợp 1: $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$. Khi đó, $y = (2(1)-3)x^2 + 1 = -x^2 + 1$. Hàm số này có một cực trị tại $x = 0$. Vậy $m = 1$ thỏa mãn. * Trường hợp 2: $m - 1 \ne 0$. Đặt $t = x^2, t \ge 0$. Khi đó, $y = (m-1)t^2 + (2m-3)t + 1$. Để hàm số có đúng một cực trị thì phương trình $y' = 0$ phải có nghiệm duy nhất hoặc có nghiệm kép bằng 0 hoặc có hai nghiệm trái dấu. $y' = 4(m-1)x^3 + 2(2m-3)x = 2x[2(m-1)x^2 + (2m-3)] = 0$. $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $2(m-1)x^2 + (2m-3) = 0 \Leftrightarrow x^2 = -\frac{2m-3}{2(m-1)}$. Để hàm số có đúng một cực trị thì phương trình $x^2 = -\frac{2m-3}{2(m-1)}$ phải vô nghiệm hoặc có nghiệm $x = 0$. Điều này xảy ra khi $- \frac{2m-3}{2(m-1)} \le 0 \Leftrightarrow \frac{2m-3}{m-1} \ge 0$. $\Leftrightarrow \begin{cases} 2m-3 \ge 0 \\ m-1 > 0 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} 2m-3 \le 0 \\ m-1 < 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} m \ge \frac{3}{2} \\ m > 1 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} m \le \frac{3}{2} \\ m < 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow m \ge \frac{3}{2}$ hoặc $m < 1$. * Kết hợp cả hai trường hợp, ta có $m \le 1$ hoặc $m \ge \frac{3}{2}$.