Câu hỏi:
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số \(m\) để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{mn - 1}}{{n + 1}}\) là dãy số giảm.
Trả lời:
Đáp án đúng:
Để dãy số $(u_n)$ giảm, ta cần $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n$.
$u_n = \frac{mn-1}{n+1} = \frac{m(n+1) - m - 1}{n+1} = m - \frac{m+1}{n+1}$.
$u_{n+1} = m - \frac{m+1}{n+2}$.
$u_{n+1} < u_n \Leftrightarrow m - \frac{m+1}{n+2} < m - \frac{m+1}{n+1} \Leftrightarrow \frac{m+1}{n+2} > \frac{m+1}{n+1}$.
Nếu $m+1 = 0$ thì $m = -1$. Khi đó $u_n = \frac{-n-1}{n+1} = -1$ là dãy hằng.
Nếu $m+1 \ne 0$, ta có $n+2 > n+1 > 0$, do đó $\frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1}$.
Vậy ta cần $m+1 < 0 \Leftrightarrow m < -1$.
Vì $u_n$ là dãy số giảm, nên $u_2 < u_1$, $u_3 < u_2$, ...
Để dãy số giảm, $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \ge 1$. Tức là: $\frac{m(n+1) - 1}{n+2} < \frac{mn-1}{n+1}$.
$\frac{mn+m-1}{n+2} < \frac{mn-1}{n+1} \Leftrightarrow (mn+m-1)(n+1) < (mn-1)(n+2)$ $\Leftrightarrow mn^2+mn+mn+m-n-1 < mn^2+2mn-n-2 \Leftrightarrow 2mn+m-n-1 < mn^2 +2mn -n -2 $ $\Leftrightarrow mn^2 - mn + m+1 < 0$. Ta thấy điều này không đúng với mọi $n$ nếu $m$ khác 0. Khi $m=0$, $u_n = \frac{-1}{n+1}$. Khi đó $u_1 = -\frac{1}{2}$, $u_2 = -\frac{1}{3}$, $u_3 = -\frac{1}{4}$,... nên đây là dãy tăng. Xét $f(n) = u_n = \frac{mn - 1}{n + 1}$. Ta có $f'(x) = \frac{m(x+1) - (mx-1)}{(x+1)^2} = \frac{m+1}{(x+1)^2}$. Do đó $f'(x) < 0$ khi $m < -1$. Vì vậy $m = -2, -3, ...$. Giá trị lớn nhất là $-2$ không có trong đáp án. Kiểm tra lại đề bài. Nếu $m = 0$, $u_n = -\frac{1}{n+1}$. Dãy này tăng. Vậy $m < 0$.
$u_n = \frac{mn-1}{n+1} = \frac{m(n+1) - m - 1}{n+1} = m - \frac{m+1}{n+1}$.
$u_{n+1} = m - \frac{m+1}{n+2}$.
$u_{n+1} < u_n \Leftrightarrow m - \frac{m+1}{n+2} < m - \frac{m+1}{n+1} \Leftrightarrow \frac{m+1}{n+2} > \frac{m+1}{n+1}$.
Nếu $m+1 = 0$ thì $m = -1$. Khi đó $u_n = \frac{-n-1}{n+1} = -1$ là dãy hằng.
Nếu $m+1 \ne 0$, ta có $n+2 > n+1 > 0$, do đó $\frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1}$.
Vậy ta cần $m+1 < 0 \Leftrightarrow m < -1$.
Vì $u_n$ là dãy số giảm, nên $u_2 < u_1$, $u_3 < u_2$, ...
Để dãy số giảm, $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \ge 1$. Tức là: $\frac{m(n+1) - 1}{n+2} < \frac{mn-1}{n+1}$.
$\frac{mn+m-1}{n+2} < \frac{mn-1}{n+1} \Leftrightarrow (mn+m-1)(n+1) < (mn-1)(n+2)$ $\Leftrightarrow mn^2+mn+mn+m-n-1 < mn^2+2mn-n-2 \Leftrightarrow 2mn+m-n-1 < mn^2 +2mn -n -2 $ $\Leftrightarrow mn^2 - mn + m+1 < 0$. Ta thấy điều này không đúng với mọi $n$ nếu $m$ khác 0. Khi $m=0$, $u_n = \frac{-1}{n+1}$. Khi đó $u_1 = -\frac{1}{2}$, $u_2 = -\frac{1}{3}$, $u_3 = -\frac{1}{4}$,... nên đây là dãy tăng. Xét $f(n) = u_n = \frac{mn - 1}{n + 1}$. Ta có $f'(x) = \frac{m(x+1) - (mx-1)}{(x+1)^2} = \frac{m+1}{(x+1)^2}$. Do đó $f'(x) < 0$ khi $m < -1$. Vì vậy $m = -2, -3, ...$. Giá trị lớn nhất là $-2$ không có trong đáp án. Kiểm tra lại đề bài. Nếu $m = 0$, $u_n = -\frac{1}{n+1}$. Dãy này tăng. Vậy $m < 0$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Lời giải:
Đáp án đúng:
Đây là một câu hỏi tự luận yêu cầu giải thích và tính toán. Không có các lựa chọn để chọn đáp án đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Số ngày từ 1/1/2025 đến 30/4/2025 là:
- Tháng 1: 31 ngày
- Tháng 2: 28 ngày (năm 2025 không nhuận)
- Tháng 3: 31 ngày
- Tháng 4: 30 ngày
Tổng số ngày là: $31 + 28 + 31 + 30 = 120$ ngày.
Số tiền bỏ vào ống heo mỗi ngày tăng 100 đồng, bắt đầu từ 100 đồng.
Đây là một cấp số cộng với $u_1 = 100$ và công sai $d = 100$.
Tổng số tiền An tích lũy được sau 120 ngày là tổng của cấp số cộng:
$S_n = \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d]$
$S_{120} = \frac{120}{2} [2(100) + (120-1)(100)] = 60 [200 + 11900] = 60 [12100] = 726000$ đồng.
Vậy, số tiền An tích lũy được là 726000 đồng.
- Tháng 1: 31 ngày
- Tháng 2: 28 ngày (năm 2025 không nhuận)
- Tháng 3: 31 ngày
- Tháng 4: 30 ngày
Tổng số ngày là: $31 + 28 + 31 + 30 = 120$ ngày.
Số tiền bỏ vào ống heo mỗi ngày tăng 100 đồng, bắt đầu từ 100 đồng.
Đây là một cấp số cộng với $u_1 = 100$ và công sai $d = 100$.
Tổng số tiền An tích lũy được sau 120 ngày là tổng của cấp số cộng:
$S_n = \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d]$
$S_{120} = \frac{120}{2} [2(100) + (120-1)(100)] = 60 [200 + 11900] = 60 [12100] = 726000$ đồng.
Vậy, số tiền An tích lũy được là 726000 đồng.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Vì kim giờ chỉ số 12 và kim phút chỉ số 3, góc tạo bởi kim giờ và kim phút là góc vuông, tức là $90^\circ$ hay $\frac{\pi}{2}$ (rad).
Vậy số đo của góc lượng giác $(OM, ON)$ là $\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Vậy số đo của góc lượng giác $(OM, ON)$ là $\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Câu 2:
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Khi đó \(\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)\) bằng
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 6:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 5 - 2n\). Tìm công sai của cấp số cộng
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
