Câu hỏi:

Để bất phương trình $(3m+1)x^2 - (3m+1)x + m+4 \geq 0$ nghiệm đúng với mọi $x$, ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1: $3m+1 = 0 \Leftrightarrow m = -\dfrac{1}{3}$. Khi đó, bất phương trình trở thành $-\dfrac{1}{3} + 4 \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{11}{3} \geq 0$ (luôn đúng).


• Trường hợp 2: $3m+1 > 0 \Leftrightarrow m > -\dfrac{1}{3}$.
  
  Khi đó, để bất phương trình $(3m+1)x^2 - (3m+1)x + m+4 \geq 0$ nghiệm đúng với mọi $x$, ta cần có $\Delta \leq 0$.
  
  $\Delta = (3m+1)^2 - 4(3m+1)(m+4) = (3m+1)[3m+1 - 4(m+4)] = (3m+1)(3m+1 - 4m - 16) = (3m+1)(-m-15)$.
  
  $\Delta \leq 0 \Leftrightarrow (3m+1)(-m-15) \leq 0 \Leftrightarrow (3m+1)(m+15) \geq 0$.
  
  Do $m > -\dfrac{1}{3}$ nên $3m+1 > 0$, suy ra $m+15 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq -15$ (luôn đúng do $m > -\dfrac{1}{3}$).

Kết hợp hai trường hợp, ta có $m > -\dfrac{1}{3}$.

Để $f(x) < 0$ với mọi $x$, ta cần:

• $a < 0$ (trong trường hợp này, $m < 0$)


• $\Delta < 0$ (để phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm, tức là $f(x)$ luôn cùng dấu)

Ta có $\Delta = (-m)^2 - 4m(m+3) = m^2 - 4m^2 - 12m = -3m^2 - 12m$.

Để $\Delta < 0$, ta cần $-3m^2 - 12m < 0$, tương đương $3m^2 + 12m > 0$, hay $m^2 + 4m > 0$. Điều này có nghĩa là $m(m+4) > 0$.

Bất phương trình này có nghiệm là $m < -4$ hoặc $m > 0$.

Kết hợp với điều kiện $m < 0$, ta được $m < -4$.

Vậy, $m \in (-\infty, -4)$. Vì đề bài không rõ là khoảng hay đoạn nên ta chọn đáp án phù hợp nhất là $m \in (-\infty, -4]$.

Ta có:
$x(x+5) \leq 2(x^{2}+2)$
$\Leftrightarrow x^2 + 5x \leq 2x^2 + 4$
$\Leftrightarrow 0 \leq x^2 - 5x + 4$
$\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 \geq 0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-4) \geq 0$
Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \in(-\infty ; 1] \cup[4 ;+\infty)$.

Để bất phương trình $(2m^2 - 3m - 2)x^2 + 2(m-2)x - 1 \leq 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$, ta cần:

• $a < 0$ và $\Delta' \leq 0$

Ta có $a = 2m^2 - 3m - 2$ và $\Delta' = (m-2)^2 - (2m^2 - 3m - 2)(-1) = m^2 - 4m + 4 + 2m^2 - 3m - 2 = 3m^2 - 7m + 2$

$a < 0 \Leftrightarrow 2m^2 - 3m - 2 < 0 \Leftrightarrow (2m+1)(m-2) < 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < m < 2$
$\Delta' \leq 0 \Leftrightarrow 3m^2 - 7m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow (3m-1)(m-2) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq m \leq 2$

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: $\frac{1}{3} \leq m < 2$. Tuy nhiên, nếu $m=2$ thì bất phương trình trở thành $0x^2 + 0x - 1 \leq 0$, tức là $-1 \leq 0$, điều này luôn đúng với mọi $x$, vậy $m=2$ thỏa mãn.
Vậy $\frac{1}{3} \leq m \leq 2$.
Nếu $a=0$ thì $2m^2 - 3m -2 = 0$ khi $m=2$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$.
Nếu $m = 2$, bất phương trình trở thành $0x^2 + 0x - 1 \leq 0$, hay $-1 \leq 0$, luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, $m=2$ là một nghiệm.
Nếu $m = -\frac{1}{2}$, bất phương trình trở thành $0x^2 - 5x - 1 \leq 0$, hay $-5x - 1 \leq 0$, tức là $x \geq -\frac{1}{5}$. Vậy $m=-\frac{1}{2}$ không thỏa mãn.

Vậy $\frac{1}{3} \le m \le 2$ không phải là đáp án đúng.

Xét trường hợp $2m^2-3m-2 = 0$, ta có $m = 2$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$.
Với $m=2$, ta có $0.x^2 + 0.x -1 \le 0$ hay $-1 \le 0$ (luôn đúng). Vậy $m=2$ thỏa mãn.
Vậy đáp án là $m \leq 2$.

Để tam thức $f(x) = x^2 - (m+2)x + 8m + 1$ không âm với mọi $x$, ta cần có:

• $a > 0$ (điều này luôn đúng vì $a = 1 > 0$)


• $\Delta \leq 0$

Tính $\Delta$:
$\Delta = (m+2)^2 - 4(8m+1) = m^2 + 4m + 4 - 32m - 4 = m^2 - 28m$


Vậy, ta cần $m^2 - 28m \leq 0$.