Câu hỏi:

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + n - {n^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = - \infty $ vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2} = + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = -1$.


b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{{2^2} + 2.2 + 4}}{{2 + 2}} = \frac{{12}}{4} = 3$.

Câu hỏi này không phải là trắc nghiệm và yêu cầu chứng minh và tìm giao tuyến. Vì vậy, không có đáp án trắc nghiệm nào để chọn.

Gọi $a_n$ là cạnh của hình vuông $C_n$, ta có $S_n = a_n^2$.


Ta có $a_1 = a$.


Cạnh của hình vuông $C_2$ là $a_2 = \sqrt{(\frac{3a}{4})^2 + (\frac{a}{4})^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{a^2}{16}} = \sqrt{\frac{10a^2}{16}} = a\frac{\sqrt{10}}{4}$.


Do đó $S_1 = a^2$ và $S_2 = a^2(\frac{10}{16}) = a^2(\frac{5}{8})$.


Ta thấy dãy $S_1, S_2, ...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = a^2$ và $q = \frac{5}{8}$.


Vậy $T = \frac{u_1}{1-q} = \frac{a^2}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{a^2}{\frac{3}{8}} = \frac{8a^2}{3}$.


Theo đề bài, $T = \frac{32}{3}$. Do đó $\frac{8a^2}{3} = \frac{32}{3} \Leftrightarrow 8a^2 = 32 \Leftrightarrow a^2 = 4 \Leftrightarrow a = 2$ (vì $a>0$).


Ta có các hình vuông được tạo thành bằng cách chia mỗi cạnh thành 4 phần bằng nhau và nối các điểm chia, cạnh hình vuông tiếp theo là $\frac{\sqrt{10}}{4}$ cạnh hình vuông trước.


$S_1 = a^2$


$S_2 = a^2 \cdot (\frac{\sqrt{10}}{4})^2 = a^2 \cdot \frac{10}{16} = a^2 \cdot \frac{5}{8}$


$S_3 = a^2 \cdot (\frac{5}{8})^2$


$T = S_1 + S_2 + S_3 + ... = a^2 + a^2 \cdot \frac{5}{8} + a^2 \cdot (\frac{5}{8})^2 + ...$


$T = \frac{a^2}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{a^2}{\frac{3}{8}} = \frac{8a^2}{3}$


$\frac{8a^2}{3} = \frac{32}{3} \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$


Ta có sai sót ở chỗ tính $a_2$. Tính lại như sau:


$\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$


$T = \frac{S_1}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{S_1}{\frac{3}{8}} = \frac{8S_1}{3} = \frac{32}{3}$


$\Rightarrow S_1 = 4 = a^2 \Rightarrow a = 2$


Nhưng đáp án này không có trong các lựa chọn. Xem lại đề bài.

Trên đường tròn lượng giác, điểm $M(x_0; y_0)$ biểu diễn cho góc $\alpha$ thì:
$\sin \alpha = y_0$
$\cos \alpha = x_0$

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha $ (đúng)


• Đáp án B: $\sin\left( {\pi + \alpha } \right) = -\sin\alpha $ (sai)


• Đáp án C: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = -\sin \alpha $ (sai)


• Đáp án D: $\tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \tan(2\alpha)$ (sai vì $\tan(2\alpha) \neq \cot(2\alpha)$)

Vậy đáp án đúng là A.