Câu hỏi:

Để hàm số $y = (m-1)x^4 + (2-m)x^2 + 5$ có đúng một điểm cực trị thì $y' = 0$ có một nghiệm duy nhất hoặc nghiệm kép.

Xét $y' = 4(m-1)x^3 + 2(2-m)x = 2x[2(m-1)x^2 + (2-m)]$

y' = 0 <=> \begin{cases} x=0 \\ 2(m-1)x^2 + (2-m) = 0 \end{cases}

Để hàm số có đúng một cực trị thì phương trình $2(m-1)x^2 + (2-m) = 0$ phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x=0$.

*Trường hợp 1: $m = 1$, khi đó $2(m-1)x^2 + (2-m) = 1 > 0$ (vô nghiệm)

*Trường hợp 2: $m \ne 1$, phương trình $2(m-1)x^2 + (2-m) = 0 <=> x^2 = \frac{m-2}{2(m-1)}$

Để phương trình $x^2 = \frac{m-2}{2(m-1)}$ vô nghiệm thì $\frac{m-2}{2(m-1)} < 0 <=> 1 < m < 2$

Để phương trình $x^2 = \frac{m-2}{2(m-1)}$ có nghiệm kép $x = 0$ thì $\frac{m-2}{2(m-1)} = 0 <=> m = 2$

Vậy, để hàm số có đúng một điểm cực trị thì $1 < m < 2$ hoặc $m=1$ hoặc $m=2$.

Kết hợp các trường hợp, ta có $1 \le m \le 2$.