Câu hỏi:

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=2^x\Big(1+2^{-x} . \sin x \Big)$ là

\dfrac{{{2}^{x+1}}}{x+1}-\cos x+C

\dfrac{{{2}^{x-1}}}{x+1}+\cos x+C

\dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2}-\cos x+C

\dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+\cos x+C

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có: $f(x)=2^x\Big(1+2^{-x} . \sin x \Big) = 2^x + \sin x$
Do đó, nguyên hàm của $f(x)$ là: $\int f(x) dx = \int (2^x + \sin x) dx = \int 2^x dx + \int \sin x dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} - \cos x + C$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Dạng 3: Nguyên hàm của hàm số mũ; hàm số lượng giác

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 14:

Cho hàm số $f(x)=2- \sin x$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có: $\int f(x) dx = \int (2 - \sin x) dx = \int 2 dx - \int \sin x dx = 2x + \cos x + C$.
Vậy đáp án đúng là $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=2 x+\cos x+C$.

Câu 15:

Họ các nguyên hàm của hàm số $y=\cos 4x$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có công thức nguyên hàm: $\int cos(ax) dx = \frac{1}{a}sin(ax) + C$.
Trong trường hợp này, $a = 4$, vậy $\int cos(4x) dx = \frac{1}{4}sin(4x) + C$.

Câu 16:

Trên khoảng $\Big( 0;\dfrac{\pi }{2} \Big)$ , hàm số $F(x)=\cot x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: $(\cot x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$.
Vậy $F(x) = \cot x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$.

Câu 17:

Cho $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d}x=x^2-3x+C.$ Khi đó $\displaystyle \int f\big(\mathrm{e}^{-x}\big) \mathrm{d}x$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có $\int f(x) dx = x^2 - 3x + C$. Suy ra $f(x) = (x^2 - 3x + C)' = 2x - 3$.
Vậy $\int f(e^{-x}) dx = \int (2e^{-x} - 3) dx = 2 \int e^{-x} dx - 3 \int dx = -2e^{-x} - 3x + C$.

Câu 18:

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\mathrm{e}^{x}-2$ trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ , biết $F\left(0 \right)=-1$ . Khi đó $F(x)$ là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: $\int (e^x - 2) dx = e^x - 2x + C$. Vì $F(0) = -1$ nên $e^0 - 2(0) + C = -1 \Rightarrow 1 + C = -1 \Rightarrow C = -2$. Vậy $F(x) = e^x - 2x - 2$.

Câu 19:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \Big( \cos \dfrac{x}{2} \Big)^2$ là

Lời giải: