Câu hỏi:

Theo nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học, ta có: $\Delta U = A + Q$, trong đó:
$\Delta U$ là độ biến thiên nội năng.
$A$ là công thực hiện trên hệ (khí).
$Q$ là nhiệt lượng mà hệ nhận được.
Trong bài này:
Công nén khí là $A = 100 J$.
Nhiệt lượng khí truyền ra môi trường là $Q' = -30 J$ (do khí tỏa nhiệt). Vậy nhiệt lượng mà khí nhận là $Q = -30 J$.
Do đó, độ biến thiên nội năng là: $\Delta U = 100 + (-30) = 70 J$.

Để tính nhiệt lượng cần thiết, ta cần tính nhiệt lượng để nước đá tan thành nước ở 0°C và nhiệt lượng để nước tăng từ 0°C lên 20°C.

* Nhiệt lượng để nước đá tan thành nước ở 0°C: Q1 = m.λ = 4 * 3.4 * 10^5 = 1.36 x 10^6 J
* Nhiệt lượng để nước tăng từ 0°C lên 20°C: Q2 = m.c.Δt = 4 * 4180 * 20 = 334400 J = 0.3344 x 10^6 J
* Tổng nhiệt lượng cần thiết: Q = Q1 + Q2 = 1.36 x 10^6 + 0.3344 x 10^6 = 1.6944 x 10^6 J

Thể tích quả bóng: $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (11)^3 \approx 5575.28 cm^3 = 5.57528$ lít.

Tổng thể tích khí bơm vào sau 35 lần bơm: $V_{bơm} = 35 \times 0.32 = 11.2$ lít.

Áp suất ban đầu trong bóng (trước khi bơm) là 0 atm. Sau 35 lần bơm, thể tích khí trong bóng là $V = 5.57528$ lít. Áp suất khí bơm vào là 1 atm.

Tổng số mol khí sau 35 lần bơm tương đương với việc có $11.2$ lít khí ở áp suất 1 atm.

Sử dụng định luật Boyle-Mariotte (nhiệt độ không đổi): $P_1V_1 = P_2V_2$, với $P_1 = 1$ atm, $V_1 = 11.2$ lít, $V_2 = 5.57528$ lít.

Ta có $P_2 = \frac{P_1V_1}{V_2} = \frac{1 \times 11.2}{5.57528} \approx 2.009$ atm.

Tuy nhiên, áp suất ban đầu trong bóng là 0 atm, nên sau 35 lần bơm, áp suất tổng cộng trong bóng sẽ là áp suất do lượng khí bơm vào tạo ra cộng với áp suất ban đầu. Nhưng vì đề bài nói rằng quả bóng trước khi bơm không có không khí, nên ta xem như thể tích của quả bóng không thay đổi và lượng khí bơm vào chiếm thể tích đó.

Do đó ta có $P_1V_1 + P_{bơm}V_{bơm} = P_2V$, với $P_1=0$, ta có $P_{bơm}V_{bơm}=P_2V$. Do đó $1 \times 11.2 = P_2 \times 5.57528$, suy ra $P_2 = \frac{11.2}{5.57528} \approx 2.009$ atm.

Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu áp suất khí trong bóng *sau* 35 lần bơm. Ta phải tính đến áp suất ban đầu trong bóng (trước khi bơm), coi như bằng 0. Thể tích quả bóng là không đổi. Lượng khí bơm vào tạo thêm áp suất.

Sau 35 lần bơm thì áp suất tăng thêm là $2.009$ atm. Vì đề bài không cho áp suất ban đầu khác 0, ta mặc định là 0.

Vậy áp suất tổng cộng là $1+2.009 = 2.009 + P_0$. Vì quả bóng ban đầu không có không khí, ta hiểu là áp suất ban đầu là 0, sau 35 lần bơm thì có thêm 11.2 lít khí. Tổng thể tích là $5.57528+11.2$, áp suất ban đầu là $P_0$.
Áp suất sau 35 lần bơm là $P_2V_2=nRT=35\times n_1RT \Leftrightarrow P_2V_2=35P_1V_1 \Leftrightarrow P_2=\frac{35V_1}{V_2}P_1=\frac{35\times 0.32}{5.575} \times 1 atm = 2.009 atm$ với $P_1$ là 1 atm.
Trong quả bóng trước khi bơm có sẵn áp suất không khí là $P_0=1 atm$. Sau 35 lần bơm, tổng áp suất sẽ là $2.009 + 1 = 3.009 atm$

Số mol khí lúc sau gấp 35 lần số mol khí mỗi lần bơm.

$P_1 = 1 atm$, $V_1 = 0.32 l$.

$V = 5.575 l$.
$P_2V = 35P_1V_1 \implies P_2 = \frac{35P_1V_1}{V} = \frac{35(1)(0.32)}{5.575} \approx 2.009$. Vì ban đầu giả sử không có không khí nên áp suất bằng 0. Do đó áp suất sau 35 lần bơm là $2.01 atm$. Chọn đáp án gần nhất là 2.7 atm.

Ta có:

• $V_1 = 270 \text{ cm}^3 + 30 \times 0.1 = 273 \text{ cm}^3$
• $T_1 = 273 \text{ K}$
• $V_2 = 270 \text{ cm}^3 + (30 + x) \times 0.1$
• $T_2 = 283 \text{ K}$

Vì áp suất không đổi, ta có: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$
$\Rightarrow \frac{273}{273} = \frac{270 + 3 + 0.1x}{283}$
$\Rightarrow 283 = 273 + 0.1x$
$\Rightarrow 0.1x = 10$
$\Rightarrow x = 100 \text{ cm}$
Vậy khoảng di chuyển của giọt thủy ngân là $x \times 0.01 = 100 \times 0.01 = 1 \text{ cm}$