Câu hỏi:

Để hàm số $y = (m-1)x^4 + (2m-3)x^2 + 1$ có đúng một điểm cực trị, ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$. Khi đó, hàm số trở thành $y = (2.1 - 3)x^2 + 1 = -x^2 + 1$. Hàm số này có một cực đại tại $x = 0$, vậy $m = 1$ thỏa mãn. Trường hợp 2: $m - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$. Đặt $t = x^2$ (t $\ge 0$). Khi đó, hàm số trở thành $y = (m-1)t^2 + (2m-3)t + 1$. Để hàm số bậc 4 có đúng một cực trị thì phương trình $y' = 0$ phải có nghiệm duy nhất hoặc nghiệm kép $t = 0$. Ta có: $y' = 2(m-1)t + (2m-3)$. Để $y'=0$ có nghiệm duy nhất $t \le 0$ thì $2(m-1)t + (2m-3)=0$ phải có nghiệm $t \le 0$ hoặc $t=0$ là nghiệm kép. Nếu $m>1$, để hàm số có đúng một cực trị thì $(m-1)(2m-3) > 0$ và phương trình $2(m-1)t + (2m-3)=0$ phải có nghiệm $t \leq 0$. Phương trình có nghiệm $t = \frac{3-2m}{2(m-1)}$. Để $t \le 0$ thì $\frac{3-2m}{2(m-1)} \le 0$. Vì $m > 1$ nên $2(m-1) > 0$, suy ra $3 - 2m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{3}{2}$. Nếu $m<1$, để hàm số có đúng một cực trị thì $(m-1)(2m-3) > 0$ và phương trình $2(m-1)t + (2m-3)=0$ phải có nghiệm $t \leq 0$. Phương trình có nghiệm $t = \frac{3-2m}{2(m-1)}$. Để $t \le 0$ thì $\frac{3-2m}{2(m-1)} \le 0$. Vì $m < 1$ nên $2(m-1) < 0$, suy ra $3 - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{3}{2}$. Như vậy, $m < 1$. Kết hợp lại, ta có $m = 1$ hoặc $m \ge \frac{3}{2}$ hoặc $m < 1$, hay $m \le \frac{3}{2}$. Hàm số có đúng một cực trị khi và chỉ khi $m \le \frac{3}{2}$.