Câu hỏi:

a) Đúng. Tính \(f\left( 0 \right)\) và \(f\left( \text{ln}2 \right)\):

\(f\left( 0 \right)={{e}^{0}}+0=1\).

\(f\left( \text{ln}2 \right)={{e}^{\text{ln}2}}+\text{ln}2=2+\text{ln}2\).

b) Đúng. Đạo hàm của hàm số đã cho là \({f}'\left( x \right)={{e}^{x}}+1\).

c) Sai. Vì \({f}'\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}\) nên phương trình \({f}'\left( x \right)=0\) vô nghiệm trên \(\left[ 0;1 \right]\).

d) Đúng.

\(f\left( 0 \right)=1\)\(f\left( \text{ln}2 \right)=2+\text{ln}2\).

Vì hàm số \(f\left( x \right)={{e}^{x}}+x\) là một hàm đồng biến nên giá trị lớn nhất của hàm số sẽ đạt tại \(x=\text{ln}2\).

Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 0;\text{ln}2 \right]\) là \(2+\text{ln}2\).

a) Đúng. Xe đang lưu thông sẽ dừng lại khi vận tốc bằng 0.

Suy ra mệnh đề đúng.

b) Sai. Ô tô A dừng lại \(\Leftrightarrow v=0\Leftrightarrow 16-4t=0\Leftrightarrow t=4\).

Suy ra mệnh đề sai.

c) Sai. Quãng đường ô tô A đi được kể từ thời điểm bắt đầu hãm phanh đến lúc dừng lại là \(s=\underset{0}{\overset{4}{\mathop{\int }}}\,v\left( t \right)dt\).

Suy ra mệnh đề sai.

d) Sai. Quãng đường ô tô A đi được kể từ thời điểm bắt đầu hãm phanh đến lúc dừng lại là:

\(s=\underset{0}{\overset{4}{\mathop{\int }}}\,v\left( t \right)dt=\underset{0}{\overset{4}{\mathop{\int }}}\,\left( 16-4t \right)dt=32\left( m \right)\).

Do đó ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng tối thiểu là:

\(32+1=33m\).

Suy ra mệnh đề sai.

a) Đúng. Số viên bi màu đỏ có đánh số là \(60\text{ }\!\!%\!\!\text{ }. 50=30\).

Suy ra a đúng.

b) Sai. Xác suất để lấy được viên bi màu đỏ là \(P\left( B \right)=\frac{50}{80}=\frac{5}{8}\).

Suy ra b Sai.

c) Đúng. Biến cố "Viên bi được lấy ra có màu đỏ và đánh số" là biến cố \(A\) với điều kiện \(B\).

Vậy xác suất để lấy ra được viên bi màu đỏ có đánh số là \(P\left( A\mid B \right)\).

Suy ra c đúng.

d) Sai. Xác suất để lấy ra viên bi được lấy ra có đánh số là \(P\left( A \right)\). Ta tính \(P\left( A \right)\) theo công thức:

\(P\left( A \right)=P\left( B \right). P\left( A\mid B \right)+P\left( \overline{B} \right). P\left( A\mid \overline{B} \right)\).

Ta có: \(P\left( B \right)=\frac{5}{8};P\left( A\mid B \right)=60\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\);

\(\overline{B}\) là biến cố lấy được viên bi vàng nên \(P\left( \overline{B} \right)=\frac{30}{80}=\frac{3}{8}\).

\(A\mid \overline{B}\) là biến cố lấy được viên bi màu vàng có đánh số.

Nên \(P\left( A\mid \overline{B} \right)=100\text{ }\!\!%\!\!\text{ }-50\text{ }\!\!%\!\!\text{ }=50\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\).

Vậy

\(P\left( A \right)=P\left( B \right). P\left( A\mid B \right)+P\left( \overline{B} \right). P\left( A\mid \overline{B} \right)=\frac{5}{8}. 60\text{ }\!\!%\!\!\text{ }+\frac{3}{8}. 50\text{ }\!\!%\!\!\text{ }=\frac{9}{16}\).

Vậy d sai.

a) Phương trình mặt cầu tâm \(O\left( 0;0;0 \right)\), bán kính \(R=417\) là \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{417}^{2}}\left( \text{*} \right)\).

Suy ra mệnh đề sai.

b) Thay tọa độ \(A\left( 688;185;-8 \right)\) vào VP của \(\left( {{~}^{\text{*}}} \right)\) ta được:

\({{688}^{2}}+{{185}^{2}}+{{(-8)}^{2}}=507633>{{417}^{2}}\)

Suy ra điểm \(A\left( 688;185;-8 \right)\) nằm ngoài mặt cầu. Suy ra mệnh đề sai.

c) Quỹ đạo của tên lửa là đường thẳng có phương trình \(d\): \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=688-91t  \\    y=185-75t  \\    z=-8  \\ \end{array} \right.\).

Giả sử điểm \(B\left( 688-91t;185-75t;-8 \right)\) là điểm đầu tiên trên màn hình radar phát hiện ra quả tên lửa khi đó điểm \(B\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{417}^{2}}\).

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & {{(688-91t)}^{2}}+{{(185-75t)}^{2}}+{{(-8)}^{2}} & ={{417}^{2}}  \\    \Leftrightarrow  & 13906{{t}^{2}}-152966t+333744 & =0  \\ \end{array}\)

Với \(t=8\) suy ra \(B\left( -40;-415;-8 \right)\), khi đó \(\overrightarrow{AB}=\left( -728;-600;0 \right)\) suy ra \(\left| \overrightarrow{AB} \right|\approx 943,39\).

Với \(t=3\) suy ra \(B\left( 415;-40;-8 \right)\), khi đó \(\overrightarrow{AB}=\left( -273;-225;0 \right)\) suy ra \(\left| \overrightarrow{AB} \right|\approx 353,77\).

Rõ ràng \(353,77<943,39\) do đó vị cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên Radar là \(B\left( -40;-415;-8 \right)\) suy ra mệnh đề sai.

d) Gọi \(H\left( 688-91t;185-75t;-8 \right)\) là vị trị hệ thống "Vòm sắt" gần quả tên lửa. Khi đó để \(OH\) nhỏ nhất khi và chỉ khi.

\(\overrightarrow{OH}\bot \vec{u}=\left( -91;-75;0 \right)\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OH}\cdot \vec{u}=0\)

\(\Leftrightarrow \left( 688-91t \right)\cdot \left( -91 \right)+\left( 185-75t \right)\cdot \left( -75 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow 13906t-76483=0\)\(\Leftrightarrow t=\frac{11}{2}\)

Suy ra

\(H\left( \frac{375}{2};-\frac{455}{2};-8 \right)\), \(\left| \overrightarrow{OH} \right|=\sqrt{{{\left( \frac{375}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{-455}{2} \right)}^{2}}+{{(-8)}^{2}}}\approx 295\).

Suy ra mệnh đề sai.

Gọi I là điểm đối xứng của A qua D .

Suy ra BCID là hình bình hành nên \(\mathrm{BD} / / \mathrm{CI}\).

Do đó \(\mathrm{d}\left[\mathrm{BD}, \mathrm{CD}^{\prime}\right]=\mathrm{d}\left[\mathrm{BD},\left(\mathrm{CD}^{\prime} \mathrm{I}\right)\right]=\mathrm{d}\left[\mathrm{D},\left(\mathrm{CD}^{\prime} \mathrm{I}\right)\right]\).

Kẻ \(D E \perp C I\) tại \(E\), kẻ \(D K \perp D^{\prime} E\). Khi đó d \(\left[D,\left(C D^{\prime} I\right)\right]=D K\).

Xét tam giác IAC , ta có \(\mathrm{DE} / / \mathrm{AC}\) và có D là trung điểm của AI.

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác.

Suy ra \(\mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=1\).

Tam giác vuông \(\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{DE}\), có \(\mathrm{DK}=\frac{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{D} \cdot \mathrm{DE}}{\sqrt{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{D}^{2}+\mathrm{DE}^{2}}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0,89\).