Câu hỏi:

Ta có: \(f\text{ }\!\!'\!\!\text{ }\left( t \right)=\frac{-5\,000\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}{{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{2}}}=\frac{25\,000{{\text{e}}^{-t}}}{{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{2}}}\)

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \(f\text{ }\!\!'\!\!\text{ }\left( t \right)\) lớn nhất.

Đặt \(h\left( t \right)=\frac{25\,000{{\text{e}}^{-t}}}{{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{2}}}\).

\(\begin{align} & h\text{ }\!\!'\!\!\text{ }\left( t \right)=\frac{-25\,000{{\text{e}}^{-t}}{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{2}}-2.\left( -5{{\text{e}}^{-t}} \right).\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right).25\,000{{\text{e}}^{-t}}}{{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{4}}} \\ & =\frac{-25\,000{{\text{e}}^{-t}}\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}}-10{{\text{e}}^{-t}} \right)}{{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{4}}}=\frac{-25\,000{{\text{e}}^{-t}}\left( 1-5{{\text{e}}^{-t}} \right)}{{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{3}}} \\ \end{align}\)

\(h\text{ }\!\!'\!\!\text{ }\left( t \right)=0\Leftrightarrow \frac{-25\,000{{\text{e}}^{-t}}\left( 1-5{{\text{e}}^{-t}} \right)}{{{\left( 1+5{{\text{e}}^{-t}} \right)}^{3}}}=0\Leftrightarrow 1-5{{\text{e}}^{-t}}=0\Leftrightarrow {{\text{e}}^{-t}}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow t=\text{ln}5\) (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên với \(t\in \left[ 0;+\infty \right)\):

Vậy sau khi phát hành khoảng \(\text{ln}5\approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Đặt \(\overrightarrow{AD}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AA\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}=\vec{c}\).

Vì \(M\in AA\text{ }\!\!'\!\!\text{ }\) nên \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AA\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}=k\vec{c}\)

\(N\in BC\Rightarrow \overrightarrow{BN}=l\overrightarrow{BC}=l\vec{a},P\in C\text{ }\!\!'\!\!\text{ }D\text{ }\!\!'\!\!\text{ }\Rightarrow \overrightarrow{C\text{ }\!\!'\!\!\text{ }P}=m\vec{b}\)

Ta có \(\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-l\vec{a}-\vec{b}+k\vec{c}\)

\(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{BB\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}+\overrightarrow{B\text{ }\!\!'\!\!\text{ }C\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}+\overrightarrow{C\text{ }\!\!'\!\!\text{ }P}=\left( 1-l \right)\vec{a}+m\vec{b}+\vec{c}\)

Do \(\overrightarrow{NM}=2\overrightarrow{NP}\Rightarrow -l\vec{a}-\vec{b}+k\vec{c}=2\left[ \left( 1-l \right)\vec{a}+m\vec{b}+\vec{c} \right]\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{r}} -l=2\left( 1-l \right) \\ -1=2m \\ k=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow k=2,\,m=-\frac{1}{2},\,l=2\).

Vậy \(\frac{MA}{MA\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}=2\).

Khi dây ở vị trí cân bằng, thì \(\overrightarrow{{{T}_{1}}}+\overrightarrow{{{T}_{2}}}=\vec{P}\) với \(\vec{P}\) là trọng lượng của khỉ.

Trong lượng của con khỉ là \(\left| {\vec{P}} \right|=5.9,8=49\) N.

Ta biểu diễn các lực như hình vẽ dưới đây. Độ lớn của lực căng dây \(\overrightarrow{{{T}_{1}}}\) tương ứng với độ dài cạnh DC, độ lớn của trọng lượng con khỉ tương ứng với độ dài cạnh AC.

Ta tính được số đo các góc sau:\(\widehat{DAC}={{70}^{\circ }}\); \(\widehat{ADC}={{34}^{\circ }}\)

Áp dụng định lí \(\text{sin}\) cho tam giác ADC, ta có:\(\frac{DC}{\text{sin}DAC}=\frac{AC}{\text{sin}ADC}\)

\(\frac{DC}{\text{sin}{{70}^{\circ }}}=\frac{49}{\text{sin}{{34}^{\circ }}}\) \(DC=\frac{49}{\text{sin}{{34}^{\circ }}}.\text{sin}{{70}^{\circ }}\)

\(DC=83,34\).

Vậy lực căng của dây là \(83,3\) N.

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {{x}^{2}} \right)=1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( {{x}^{2}} \right)\) và đường thẳng \(y=1\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình

\(f\left( {{x}^{2}} \right)=1\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}=a<0\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}=b>0\,\left( 2 \right) \\ & {{x}^{2}}=c>0\,\left( 3 \right) \\ \end{align} \right.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm

Phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm \(x=\pm \sqrt{b}\)

Phương trình \(\left( 3 \right)\) có \(2\) nghiệm \(x=\pm \sqrt{c}\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Do \(ABCD.EFGH\) là hình hộp nên EH = AD và hai vectơ \(\overrightarrow{EH},\overrightarrow{AD}\) cùng hướng nên \(\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}\).\n Ta có \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\).