Câu hỏi:

Hàm số \(f\left( Q \right)\) xác định trong \(\left( 0;+\infty  \right)\).

Ta có 

\(\underset{Q\to {{0}^{+}}}{\mathop{\text{lim}}}\,f\left( Q \right)=\underset{Q\to {{0}^{+}}}{\mathop{\text{lim}}}\,\left( Q+2 \right)=2\).

\(\underset{Q\to {{3}^{-}}}{\mathop{\text{lim}}}\,f\left( Q \right)=\underset{Q\to {{3}^{-}}}{\mathop{\text{lim}}}\,\left( Q+2 \right)=5\).

\(\underset{Q\to {{3}^{+}}}{\mathop{\text{lim}}}\,f\left( Q \right)=\underset{Q\to {{3}^{+}}}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{{{Q}^{2}}-2Q-3}{Q-3}\)\(=\underset{Q\to {{3}^{+}}}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{\left( Q+1 \right)\left( Q-3 \right)}{Q-3}\)\(=\underset{Q\to {{3}^{+}}}{\mathop{\text{lim}}}\,\left( Q+1 \right)=4\).

Khi đó \(\underset{Q\to {{3}^{-}}}{\mathop{\text{lim}}}\,f\left( Q \right)\ne \underset{Q\to {{3}^{+}}}{\mathop{\text{lim}}}\,f\left( Q \right)\) nên hàm số \(f\left( Q \right)\) gián đoạn tại \(Q=3\).

Suy ra hàm số không liên tục liên tục trên \(\left( 0;+\infty  \right)\).

Gọi \({{u}_{n}}\) là lương bậc \(n\) của anh Bình hàng tháng.

Ta có \({{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+25\%{{u}_{n}}={{u}_{n}}.1,25,\,\left( n\le 7 \right)\).

\({{u}_{n}}\) là cấp số nhân có công bội \(q=1,25\).

Ta có \({{u}_{4}}=11\,718\,750\) nên \({{u}_{5}}={{u}_{4}}.1,25=14\,648\,437,5\) đồng nên mệnh đề sai.

\({{u}_{4}}={{u}_{1}}.{{q}^{3}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{{{u}_{4}}}{{{q}^{3}}}=6\,000\,000\) nên mệnh đề đúng.

\({{u}_{7}}={{u}_{1}}.{{q}^{6}}=6\,000\,{{000.1,25}^{6}}=22\,888\,184\) đồng nên mệnh đề sai.

Khi vượt khung, lương mỗi khung \(\%\), là cấp số nhân \(\left( {{v}_{n}} \right),\,\left( 1\le n\le 8 \right)\) có số hạng đầu là \({{v}_{1}}={{u}_{7}}+1\%{{u}_{7}}=1,01.{{u}_{7}}\), công bội là \(q\text{ }\!\!'\!\!\text{ }=1,01\).

Anh Bình làm việc \(30\) năm liên tục, trong đó \(1\) năm tập sự, \(21\) năm lương theo bậc, \(8\) năm vượt khung.

Mỗi bậc lương anh Bình nhận \(36\) tháng, lương vượt khung mỗi khung \(\%\) anh nhận \(12\) tháng.

Tổng lương anh Bình nhận được kể từ khi hết tập sự đến khi nghỉ hưu là:

\(S=36{{u}_{1}}.\frac{{{q}^{7}}-1}{q-1}+12{{v}_{1}}\frac{q{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}^{8}}-1}{q\text{ }\!\!'\!\!\text{ }-1}=5\,\,\,554\,\,\,357\,\,\,709\) (đồng).

Do đó: \({{u}_{m}}=18\); \({{n}_{m-1}}=105\); \({{n}_{m+1}}=96\); \({{u}_{m+1}}-{{u}_{m}}=22-18=4\).

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({{M}_{o}}=18+\frac{179-105}{\left( 179-105 \right)+\left( 179-96 \right)}.4\approx 19,9\).

Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán rằng nếu công ty bất động sản Đất Vàng xây nhà ở mức giá \(19,9\) triệu đồng/\(m^2\) thì sẽ có nhiều người mua nhất.

Đặt \(f\left( x \right)=\left( {{m}^{2}}-5m+4 \right){{x}^{5}}+{{x}^{2}}+4\).

- Nếu \({{m}^{2}}-5m+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m=4 \\ \end{align} \right.\). 

Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({{x}^{2}}+4=0\) (vô nghiệm).

- Nếu \({{m}^{2}}-5m+4\ne 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m\ne 1 \\  & m\ne 4 \\ \end{align} \right.\)

* Khi \({{m}^{2}}-5m+4>0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 4;+\infty  \right)\).

Ta có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[({{m}^{2}}-5m+4){{x}^{5}}+{{x}^{2}}+4=0]=+\infty \) nên tồn tại \(b>0\) sao cho \(f\left( b \right)>0\) 

và \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,[({{m}^{2}}-5m+4){{x}^{5}}+{{x}^{2}}+4=0]=-\infty \) nên tồn tại \(a<0\) sao cho \(f\left( a \right)<0\).

Suy ra \(f\left( a \right).f\left( b \right)<0\) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). 

Do đó \(\left( 1 \right)\) có ít nhất \(1\) nghiệm trên khoảng \(\left( a;b \right)\).

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nhất \(1\) nghiệm.

* Khi \({{m}^{2}}-5m+4<0\Leftrightarrow m\in \left( 1;4 \right)\).

Ta có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[({{m}^{2}}-5m+4){{x}^{5}}+{{x}^{2}}+4=0]=-\infty \) nên tồn tại \(b>0\) sao cho \(f\left( b \right)<0\) 

và \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,[({{m}^{2}}-5m+4){{x}^{5}}+{{x}^{2}}+4=0]=+\infty \) nên tồn tại \(a<0\) sao cho \(f\left( a \right)>0\).

Suy ra \(f\left( a \right).f\left( b \right)<0\) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\).

* Do đó \(\left( 1 \right)\) có ít nhất \(1\) nghiệm trên khoảng \(\left( a;b \right)\).

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nhất \(1\) nghiệm.

Vậy khi \(m\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1;4 \right\}\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nhất \(1\) nghiệm.

Mà \(m\in \mathbb{Z}\) và \(m\in \left[ -2;9 \right]\) suy ra \(m\in \){-2; -1; 0; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9}.