Câu hỏi:

Gọi $a_n$ là cạnh của hình vuông $C_n$, ta có $S_n = a_n^2$.
Ta có $a_1 = a$.
Cạnh của hình vuông $C_2$ là $a_2 = \sqrt{(\frac{3a}{4})^2 + (\frac{a}{4})^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{a^2}{16}} = \sqrt{\frac{10a^2}{16}} = a\frac{\sqrt{10}}{4}$.
Do đó $S_1 = a^2$ và $S_2 = a^2(\frac{10}{16}) = a^2(\frac{5}{8})$.
Ta thấy dãy $S_1, S_2, ...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = a^2$ và $q = \frac{5}{8}$.
Vậy $T = \frac{u_1}{1-q} = \frac{a^2}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{a^2}{\frac{3}{8}} = \frac{8a^2}{3}$.
Theo đề bài, $T = \frac{32}{3}$. Do đó $\frac{8a^2}{3} = \frac{32}{3} \Leftrightarrow 8a^2 = 32 \Leftrightarrow a^2 = 4 \Leftrightarrow a = 2$ (vì $a>0$).
Ta có các hình vuông được tạo thành bằng cách chia mỗi cạnh thành 4 phần bằng nhau và nối các điểm chia, cạnh hình vuông tiếp theo là $\frac{\sqrt{10}}{4}$ cạnh hình vuông trước.
$S_1 = a^2$
$S_2 = a^2 \cdot (\frac{\sqrt{10}}{4})^2 = a^2 \cdot \frac{10}{16} = a^2 \cdot \frac{5}{8}$
$S_3 = a^2 \cdot (\frac{5}{8})^2$
$T = S_1 + S_2 + S_3 + ... = a^2 + a^2 \cdot \frac{5}{8} + a^2 \cdot (\frac{5}{8})^2 + ...$
$T = \frac{a^2}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{a^2}{\frac{3}{8}} = \frac{8a^2}{3}$
$\frac{8a^2}{3} = \frac{32}{3} \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$
Ta có sai sót ở chỗ tính $a_2$. Tính lại như sau:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$
$T = \frac{S_1}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{S_1}{\frac{3}{8}} = \frac{8S_1}{3} = \frac{32}{3}$
$\Rightarrow S_1 = 4 = a^2 \Rightarrow a = 2$
Nhưng đáp án này không có trong các lựa chọn. Xem lại đề bài.