Câu hỏi:

Gọi $a_n$ là cạnh của hình vuông $C_n$, ta có $S_n = a_n^2$.


Ta có $a_1 = a$.


Cạnh của hình vuông $C_2$ là $a_2 = \sqrt{(\frac{3a}{4})^2 + (\frac{a}{4})^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{a^2}{16}} = \sqrt{\frac{10a^2}{16}} = a\frac{\sqrt{10}}{4}$.


Do đó $S_1 = a^2$ và $S_2 = a^2(\frac{10}{16}) = a^2(\frac{5}{8})$.


Ta thấy dãy $S_1, S_2, ...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = a^2$ và $q = \frac{5}{8}$.


Vậy $T = \frac{u_1}{1-q} = \frac{a^2}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{a^2}{\frac{3}{8}} = \frac{8a^2}{3}$.


Theo đề bài, $T = \frac{32}{3}$. Do đó $\frac{8a^2}{3} = \frac{32}{3} \Leftrightarrow 8a^2 = 32 \Leftrightarrow a^2 = 4 \Leftrightarrow a = 2$ (vì $a>0$).


Ta có các hình vuông được tạo thành bằng cách chia mỗi cạnh thành 4 phần bằng nhau và nối các điểm chia, cạnh hình vuông tiếp theo là $\frac{\sqrt{10}}{4}$ cạnh hình vuông trước.


$S_1 = a^2$


$S_2 = a^2 \cdot (\frac{\sqrt{10}}{4})^2 = a^2 \cdot \frac{10}{16} = a^2 \cdot \frac{5}{8}$


$S_3 = a^2 \cdot (\frac{5}{8})^2$


$T = S_1 + S_2 + S_3 + ... = a^2 + a^2 \cdot \frac{5}{8} + a^2 \cdot (\frac{5}{8})^2 + ...$


$T = \frac{a^2}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{a^2}{\frac{3}{8}} = \frac{8a^2}{3}$


$\frac{8a^2}{3} = \frac{32}{3} \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$


Ta có sai sót ở chỗ tính $a_2$. Tính lại như sau:


$\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$


$T = \frac{S_1}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{S_1}{\frac{3}{8}} = \frac{8S_1}{3} = \frac{32}{3}$


$\Rightarrow S_1 = 4 = a^2 \Rightarrow a = 2$


Nhưng đáp án này không có trong các lựa chọn. Xem lại đề bài.

Trên đường tròn lượng giác, điểm $M(x_0; y_0)$ biểu diễn cho góc $\alpha$ thì:
$\sin \alpha = y_0$
$\cos \alpha = x_0$

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha $ (đúng)


• Đáp án B: $\sin\left( {\pi + \alpha } \right) = -\sin\alpha $ (sai)


• Đáp án C: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = -\sin \alpha $ (sai)


• Đáp án D: $\tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \tan(2\alpha)$ (sai vì $\tan(2\alpha) \neq \cot(2\alpha)$)

Vậy đáp án đúng là A.

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ (đúng).
• Đáp án B: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ (đúng).
• Đáp án C: $\sin 4\alpha = 2 \cdot \sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha = 2 \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cdot (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 4 \sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) $ (sai).
• Đáp án D: $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ (đúng).

Vậy đáp án sai là C.

Ta có: $\sin x = \frac{2}{3}$

Suy ra: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Vì vậy: $\cos x = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

Ta có: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2.\frac{2}{3}.(\pm \frac{\sqrt{5}}{3}) = \pm \frac{4\sqrt{5}}{9}$

Do đó: $P = \sin 2x.\cos x = \left( \pm \frac{4\sqrt{5}}{9} \right) \left( \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \right) = \frac{4\sqrt{5}}{9}.\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4.5}{27} = \frac{20}{27}$