Câu hỏi:

Hình 2 và 3 biểu diễn hình tứ diện.
Hình 1 không thể gấp thành hình tứ diện vì có 5 mặt.
Hình 4 không thể gấp thành hình tứ diện vì có 6 mặt.

Phép chiếu song song có thể biến ba đường thẳng song song thành ba đường thẳng song song (đôi một song song), một đường thẳng hoặc hai đường thẳng song song, tùy thuộc vào phương chiếu và vị trí của các đường thẳng ban đầu.
Do đó, đáp án đúng là D.

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + n - {n^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = - \infty $ vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2} = + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = -1$.


b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{{2^2} + 2.2 + 4}}{{2 + 2}} = \frac{{12}}{4} = 3$.

Câu hỏi này không phải là trắc nghiệm và yêu cầu chứng minh và tìm giao tuyến. Vì vậy, không có đáp án trắc nghiệm nào để chọn.

Gọi $a_n$ là cạnh của hình vuông $C_n$, ta có $S_n = a_n^2$.


Ta có $a_1 = a$.


Cạnh của hình vuông $C_2$ là $a_2 = \sqrt{(\frac{3a}{4})^2 + (\frac{a}{4})^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{a^2}{16}} = \sqrt{\frac{10a^2}{16}} = a\frac{\sqrt{10}}{4}$.


Do đó $S_1 = a^2$ và $S_2 = a^2(\frac{10}{16}) = a^2(\frac{5}{8})$.


Ta thấy dãy $S_1, S_2, ...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = a^2$ và $q = \frac{5}{8}$.


Vậy $T = \frac{u_1}{1-q} = \frac{a^2}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{a^2}{\frac{3}{8}} = \frac{8a^2}{3}$.


Theo đề bài, $T = \frac{32}{3}$. Do đó $\frac{8a^2}{3} = \frac{32}{3} \Leftrightarrow 8a^2 = 32 \Leftrightarrow a^2 = 4 \Leftrightarrow a = 2$ (vì $a>0$).


Ta có các hình vuông được tạo thành bằng cách chia mỗi cạnh thành 4 phần bằng nhau và nối các điểm chia, cạnh hình vuông tiếp theo là $\frac{\sqrt{10}}{4}$ cạnh hình vuông trước.


$S_1 = a^2$


$S_2 = a^2 \cdot (\frac{\sqrt{10}}{4})^2 = a^2 \cdot \frac{10}{16} = a^2 \cdot \frac{5}{8}$


$S_3 = a^2 \cdot (\frac{5}{8})^2$


$T = S_1 + S_2 + S_3 + ... = a^2 + a^2 \cdot \frac{5}{8} + a^2 \cdot (\frac{5}{8})^2 + ...$


$T = \frac{a^2}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{a^2}{\frac{3}{8}} = \frac{8a^2}{3}$


$\frac{8a^2}{3} = \frac{32}{3} \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$


Ta có sai sót ở chỗ tính $a_2$. Tính lại như sau:


$\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$


$T = \frac{S_1}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{S_1}{\frac{3}{8}} = \frac{8S_1}{3} = \frac{32}{3}$


$\Rightarrow S_1 = 4 = a^2 \Rightarrow a = 2$


Nhưng đáp án này không có trong các lựa chọn. Xem lại đề bài.