Câu hỏi:

a)  Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn bởi các đồ thị \(y=5x-{{x}^{2}};\) \(y=x;\) \(x=0;\) \(x=4\).

Suy ra a) Đúng.

b) Diện tích hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y=5x-{{x}^{2}};\) \(y=x;\) \(x=0;x=4\).

Ta có \(S=\int\limits_{0}^{4}{\left( 5x-{{x}^{2}}-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{4}{\left( 4x-{{x}^{2}} \right)dx}\).

Suy ra b) Sai.

c) Phương trình hoành độ giao điểm \(5x-{{x}^{2}}=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=5 \\ \end{align} \right.\)

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y=5x-{{x}^{2}};\)trục hoành quanh trục hoành là:

\(V=\pi \int\limits_{0}^{5}{{{\left( 5x-{{x}^{2}} \right)}^{2}}dx}=\frac{625\pi }{6}\).

Suy ra c) Sai.

d) Vì \(m>0\) nên \(x>0,\,\forall x\in \left[ 0\,;\,m \right]\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y=x\) và các đường thẳng \(y=0,\,x=0\,,\,x=m\(là:

\(S=\int\limits_{0}^{m}{\text{xd}x}=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{m}=\frac{{{m}^{2}}}{2}\).

Theo giả thiết ta có:

\(S=8\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}}{2}=8\Leftrightarrow {{m}^{2}}=16\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=4 \\  & m=-4\, \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=4\,\,\,\left( \text{do}\,\,\,m>0 \right)\).

Suy ra d) Đúng.

a) Do \(A\left( 0;0;0 \right)\),\(B\left( 2;0;0 \right)\) và \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(M\left( 1;0;0 \right)\).

Suy ra a) Đúng.

b) Do \(A\left( 0;0;0 \right)\),\(A'\left( 0;0;2 \right)\) và \(N\) là trung điểm của \(AA'\) nên \(N\left( 0;0;1 \right)\).

Suy ra b) Sai.

c) Do \(M\left( 1;0;0 \right)\),\(N\left( 0;0;1 \right)\), \(D\left( 0;2;0 \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( DMN \right)\) là:

\(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=1\) (phương trình đoạn chắn).

Suy ra c) Đúng.

d) Ta có: Phương trình mặt phẳng \(\left( DMN \right)\) là:

\(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=1\)\(\Leftrightarrow 2x+y+2z-2=0\).

Mà điểm \(C'\left( 2;2;2 \right)\) từ đó ta có:

\(d\left( C';\left( DMN \right) \right)=\frac{\left| 2.2+2+2.2-2 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{8}{3}\).

Suy ra d) Đúng.

Xét các biến cố:

A: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng bàn loại II”;

B: “Lần thứ hai lấy được quả bóng bàn loại II”.

a) Xác suất để lần thứ nhất lấy được quả bóng bàn loại II  là:

\(P\left( A \right)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}\).

Suy ra a) Sai.

b) Sau khi lấy 1 quả bóng bàn loại II thì chỉ còn 1 quả bóng bàn loại II trong hộp. Suy ra xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng bàn loại II, biết lần thứ nhất lấy được quả bóng bàn loại II, là \(P\left( B/A \right)=\frac{1}{19}\).

Suy ra b) Đúng.

c) Khi đó xác suất để cả hai lần đều lấy được quả bóng bàn loại II là:

\(P\left( C \right)=P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right)=\frac{1}{10}.\frac{1}{19}=\frac{1}{190}\).

Suy ra c) Sai.

d) Vậy để ít nhất \(1\) lần lấy được quả bóng bàn loại I là:

\(P\left( \overline{C} \right)=1-P\left( C \right)=1-\frac{1}{190}=\frac{189}{190}\).

Suy ra d) Đúng.

Số học sinh không bị nhiễm virus ngày thứ \(t\) là: \(1000-P\left( t \right)\), \(t\ge 0\).

Tốc độ lây lan virus là: \({P}'\left( t \right)=k\left( 1000-P\left( t \right) \right)\) với \(k\ne 0\).

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \Leftrightarrow  & {P}'\left( t \right)+kP\left( t \right) & =1000k  \\   \Leftrightarrow  & {{e}^{kt}}{P}'\left( t \right)+k{{e}^{kt}}P\left( t \right) & =1000k{{e}^{kt}}  \\   \Leftrightarrow  & {{\left( {{e}^{kt}}.P\left( t \right) \right)}^{\prime }} & =1000k.{{e}^{kt}}  \\\end{array}\)

Suy ra : \({{e}^{kt}}.P\left( t \right)=\int{1000k{{e}^{kt}}dt}=1000.{{e}^{kt}}+C\).

Mà ta thấy ngay từ đầu đã có 1 học sinh mang virus cúm nên khi \(t=0\) thì \(P\left( 0 \right)=1\) nên:

\({{e}^{0}}.P\left( 0 \right)=1000.{{e}^{0}}+C\Leftrightarrow C=-999\).

Khi đó \({{e}^{kt}}.P\left( t \right)=1000.{{e}^{kt}}-999\)\(\Leftrightarrow P\left( t \right)=1000-999.{{e}^{-kt}}\).

Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 4 ngày là 52 học sinh nên khi \(t=4\) thì \(P\left( 4 \right)=52\).

Suy ra : \({{e}^{4k}}.P\left( 4 \right)=1000.{{e}^{4k}}-999\Leftrightarrow 52.{{e}^{4k}}=1000.{{e}^{4k}}-999\).

\(\Leftrightarrow {{e}^{4k}}=\frac{999}{948}\Leftrightarrow k=\frac{1}{4}\ln \left( \frac{999}{948} \right)\) .

Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 10 ngày là:

\(P\left( 10 \right)=1000-999\times {{e}^{-10\times \frac{1}{4}\ln \left( \frac{999}{948} \right)}}\) \(\approx 124\) học sinh.

Thời điểm máy bay đạt vận tốc \(200\,\left( m/s \right)\) là:

\(v\left( t \right)=200\Leftrightarrow {{t}^{2}}+10t=200\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=10 \\  & t=-20 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow t=10\).

Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là:

\(s=\int\limits_{0}^{10}{\left( {{t}^{2}}+10t \right)\,\text{d}t}=\left( \frac{{{t}^{3}}}{3}+5t \right)\left| _{\begin{smallmatrix}   \\  0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}  10 \\   \end{smallmatrix}} \right.=\frac{2500}{3}\,\left( m \right)\approx 833(m)\).