Câu hỏi:

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right),$ biết ${u_n} = \frac{{2n + 5}}{{5n - 4}}.$Số $\frac{7}{{12}}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số?

10.

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có $u_n = \frac{7}{12}$
$\Leftrightarrow \frac{2n+5}{5n-4} = \frac{7}{12}$
$\Leftrightarrow 12(2n+5) = 7(5n-4)$
$\Leftrightarrow 24n + 60 = 35n - 28$
$\Leftrightarrow 11n = 88$
$\Leftrightarrow n = 8$
Vậy $\frac{7}{12}$ là số hạng thứ 8 của dãy số.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 môn Toán lớp 11 - KNTT - Đề 3

17/09/2025

0 lượt thi

0 / 21

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 13:

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_1} = 8,{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 9$ với $n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$. Đặt ${v_n} = {u_n} - 3$ với $n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$.

(a)${v_1} = 5$.

(b) Dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là một cấp số nhân có công bội $q = - 3$.

(d) Công thức của số hạng tổng quát ${u_n}$ là ${u_n} = 3 + 5 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:
- $v_1 = u_1 - 3 = 8 - 3 = 5$
- $v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = 4u_n - 9 - 3 = 4u_n - 12 = 4(u_n - 3) = 4v_n$. Suy ra $(v_n)$ là cấp số nhân với công bội $q=4$.
- $v_n = v_1 * q^(n-1) = 5 * 4^(n-1)$
- $u_n = v_n + 3 = 3 + 5 * 4^(n-1)$
Vậy, chỉ có khẳng định (a) đúng.

Câu 14:

Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng $A,B$ được cho ở bảng sau:

$Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng $A,B$ được cho ở bảng sau: Cân nặng (gam) $\left[ {150;155} \right)$ $\left[ {155;160} \right)$ \(\left[ {160;165} \right (ảnh 1)$

(a) Giá trị đại diện nhóm $\left[ {150;155} \right)$ bằng 152,5.

(b) Nhóm chứa mốt của số liệu ở lô hàng $A$ là $\left[ {155;160} \right)$.

(d) Theo số trung bình thì cam ở lô hàng $B$ nặng hơn cam ở lô hàng $A$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Để xác định đáp án đúng, ta cần phân tích từng phát biểu:

(a) Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {150;155} \right)$ là trung bình cộng của hai đầu mút: $(150 + 155) / 2 = 152,5$. Phát biểu này đúng.

(b) Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Nhìn vào bảng, ở lô hàng $A$, nhóm $\left[ {155;160} \right)$ có tần số lớn nhất (9). Phát biểu này đúng.

(d) Để so sánh cân nặng trung bình, ta cần tính số trung bình của mỗi lô hàng. Tính số trung bình bằng cách lấy tổng của (giá trị đại diện * tần số) rồi chia cho tổng tần số (25).

- Lô $A$: $\bar{x}_A = (152.5*3 + 157.5*9 + 162.5*8 + 167.5*5) / 25 = (457.5 + 1417.5 + 1300 + 837.5) / 25 = 4012.5 / 25 = 160.5$
- Lô $B$: $\bar{x}_B = (152.5*5 + 157.5*4 + 162.5*11 + 167.5*5) / 25 = (762.5 + 630 + 1787.5 + 837.5) / 25 = 4017.5 / 25 = 160.7$

Vì $\bar{x}_B > \bar{x}_A$, nên cam ở lô $B$ nặng hơn cam ở lô $A$ theo số trung bình. Phát biểu này đúng.

Do đó, tất cả các phát biểu đều đúng, tuy nhiên câu hỏi không yêu cầu xác định phát biểu nào đúng, cần suy luận thêm. Câu (a), (b), (c) chỉ mô tả thông tin trực tiếp từ bảng số liệu, còn câu (d) đưa ra một nhận định so sánh dựa trên tính toán trung bình, nên câu (d) mang tính chất phân tích và tổng quát hơn, do đó câu (d) có thể được coi là câu trả lời phù hợp nhất trong ngữ cảnh này.

Câu 15:

Cho \[2\tan a - \cot a = 1\] với \[ - \frac{\pi }{2} < a < 0\]. Tính giá trị biểu thức \[P = \frac{{\tan \left( {6\pi - a} \right) - 2\cot \left( {3\pi + a} \right)}}{{3\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right)}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $2\tan a - \cot a = 1 \Leftrightarrow 2\tan a - \frac{1}{\tan a} = 1 \Leftrightarrow 2\tan^2 a - \tan a - 1 = 0$.\nGiải phương trình bậc hai theo $\tan a$, ta được $\tan a = 1$ hoặc $\tan a = -\frac{1}{2}$.\nVì $-\frac{\pi}{2} < a < 0$ nên $\tan a < 0$, suy ra $\tan a = -\frac{1}{2}$.\nTa có:\nP = \frac{{\tan \left( {6\pi - a} \right) - 2\cot \left( {3\pi + a} \right)}}{{3\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right)}} = \frac{{\tan (-a) - 2\cot a}}{{3(-\cot a)}} = \frac{{-\tan a - 2\cot a}}{{-3\cot a}} = \frac{{\tan a + 2\cot a}}{{3\cot a}}\n= \frac{\tan a}{3\cot a} + \frac{2}{3} = \frac{\tan^2 a}{3} + \frac{2}{3}$\nThay $\tan a = -\frac{1}{2}$ vào, ta được:\nP = \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{\frac{1}{4}}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{12} + \frac{8}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$\nVậy, $P = \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{12} + \frac{8}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$\nCó lẽ có lỗi ở đề bài hoặc đáp án. Nếu biểu thức là $P = \frac{{\tan \left( {6\pi - a} \right) - 2\cot \left( {3\pi + a} \right)}}{{3\cot \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right)}}$ thì $P = \frac{-\tan a - 2 \cot a}{3 \tan a} = \frac{-\tan a}{3 \tan a} - \frac{2}{3} \cot a / \tan a = -\frac{1}{3} - \frac{2}{3} (-2)^2 = -\frac{1}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{9}{3} = -3$. Đáp án gần nhất là $-\frac{7}{3}$

Câu 16:

Biến đổi thành tổng biểu thức $P = 4\sin 3x\sin 2x\cos x$ ta được

_{$P = a\cos 2x + b\cos 4x + c\cos 6x + d$}.

Tính $a + b + c + d$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có: $P = 4\sin 3x\sin 2x\cos x = 2\cos x (\cos x - \cos 5x) = 2\cos x \cos x - 2\cos x \cos 5x = 2\cos^2 x - (\cos 6x + \cos 4x) = 1 + \cos 2x - \cos 6x - \cos 4x$.
Vậy $a = 1, b = -1, c = -1, d = 1$.
Do đó $a + b + c + d = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$.

Câu 17:

Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số $m$ để dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{mn - 1}}{{n + 1}}$ là dãy số giảm

Lời giải:

Đáp án đúng:

Để dãy số $(u_n)$ giảm, ta cần $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n$.

$u_n = \frac{mn-1}{n+1} = \frac{m(n+1) - m - 1}{n+1} = m - \frac{m+1}{n+1}$.

$u_{n+1} = m - \frac{m+1}{n+2}$.

$u_{n+1} < u_n \Leftrightarrow m - \frac{m+1}{n+2} < m - \frac{m+1}{n+1} \Leftrightarrow \frac{m+1}{n+2} > \frac{m+1}{n+1}$.

Nếu $m+1 = 0$ thì $m = -1$. Khi đó $u_n = \frac{-n-1}{n+1} = -1$ là dãy hằng.

Nếu $m+1 \ne 0$, ta có $n+2 > n+1 > 0$, do đó $\frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1}$.

Vậy ta cần $m+1 < 0 \Leftrightarrow m < -1$.

Vì $u_n$ là dãy số giảm, nên $u_2 < u_1$, $u_3 < u_2$, ...

Để dãy số giảm, $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \ge 1$. Tức là: $\frac{m(n+1) - 1}{n+2} < \frac{mn-1}{n+1}$.

$\frac{mn+m-1}{n+2} < \frac{mn-1}{n+1} \Leftrightarrow (mn+m-1)(n+1) < (mn-1)(n+2)$ $\Leftrightarrow mn^2+mn+mn+m-n-1 < mn^2+2mn-n-2 \Leftrightarrow 2mn+m-n-1 < mn^2 +2mn -n -2 $ $\Leftrightarrow mn^2 - mn + m+1 < 0$.
Ta thấy điều này không đúng với mọi $n$ nếu $m$ khác 0. Khi $m=0$, $u_n = \frac{-1}{n+1}$. Khi đó $u_1 = -\frac{1}{2}$, $u_2 = -\frac{1}{3}$, $u_3 = -\frac{1}{4}$,... nên đây là dãy tăng.
Xét $f(n) = u_n = \frac{mn - 1}{n + 1}$. Ta có $f'(x) = \frac{m(x+1) - (mx-1)}{(x+1)^2} = \frac{m+1}{(x+1)^2}$. Do đó $f'(x) < 0$ khi $m < -1$. Vì vậy $m = -2, -3, ...$. Giá trị lớn nhất là $-2$ không có trong đáp án. Kiểm tra lại đề bài.

Nếu $m = 0$, $u_n = -\frac{1}{n+1}$. Dãy này tăng. Vậy $m < 0$.

Câu 18:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right.$. Hỏi số $12288$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân?

Lời giải: