Câu hỏi:

Xét hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ, ta được:

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD trong đó \(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {0;5} \right),{\rm{ }}C\left( {\frac{{11}}{3};5} \right),D(2;0)\)

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào \(F(x;y) = x - 3y\) ta được

\(F(0;2) = 0 - 3.2 = - 6\)

\(F(0;5) = 0 - 3.5 = - 15\)

\(F\left( {\frac{{11}}{3};5} \right) = \frac{{11}}{3} - 3.5 = - \frac{{34}}{3}\)

\(F(2;0) = 2 - 3.0 = 2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của F bằng -15.

Chọn D.

Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)

Suy ra \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\)

\( \Rightarrow P = 5{\sin ^2}x + 1 = 5.\frac{3}{4} + 1 = \frac{{19}}{4}\)

Chọn B.

Ta có:

\(\begin{array}{l}T = {\cos ^4}x\;(2{\cos ^2}x - 3) + {\sin ^4}x\;(2{\sin ^2}x - 3)\\ = 2\left( {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} \right) - 3\left( {{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} \right)\\ = 2\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^4}x - {{\cos }^2}x.{{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x} \right) - 3\left( {{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} \right)\\ = 2\left( {{{\cos }^4}x - {{\cos }^2}x.{{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x} \right) - 3\left( {{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} \right)\\ = - 2{\cos ^2}x.{\sin ^2}x - \left( {{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} \right)\\ = - {\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)^2}\\ = - 1\end{array}\)

Chọn C.

Ta có: \(\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = 2\cos A \Leftrightarrow \sin B = 2\cos A\sin C\)

Mà \(\sin B = \sin ({180^ \circ } - B) = \sin (A + C) = \sin A\cos C + \sin C\cos A\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin A\cos C + \sin C\cos A = 2\cos A\sin C\\ \Leftrightarrow \sin A\cos C = \cos A\sin C\;(*)\end{array}\)

+ Nếu \(\widehat A = {90^ \circ } \Leftrightarrow \cos A = 0 \Leftrightarrow \sin {90^ \circ }.\cos C = 0 \Leftrightarrow \widehat C = {90^ \circ }\) (Vô lí)

+ Nếu \(\widehat A,\widehat C \ne {90^ \circ }\) thì \((*) \Leftrightarrow \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{{\sin C}}{{\cos C}}\) hay \(\tan A = \tan C\)

Suy ra \(\widehat A = \widehat C\) do \({0^ \circ } < \widehat A,\widehat C < {180^ \circ }\)

Vậy tam giác ABC cân tại B.

Chọn C.

Ta có \(a = 4,b = 5,c = 7 \Rightarrow p = \frac{{4 + 5 + 7}}{2} = 8\)

Suy ra diện tích tam giác ABC là: \(S = \sqrt {8.(8 - 4)(8 - 5)(8 - 7)} = 4\sqrt 6 \)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC bằng:

\(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{4.5.7}}{{4.4\sqrt 6 }} \approx 3,57\)

Chọn B.