Câu hỏi:

a) Đúng. Dao động tự do có tần số góc (hay chu kì) chỉ phụ thuộc vào đặc tính của hệ, không phụ thuộc vào yếu tố bên ngoài hay cách kích thích.

b) Sai. Chu kì dao động riêng chỉ phụ thuộc vào đặc tính của hệ.

c) Sai. Vận tốc của dao động điều hòa biến thiên điều hòa theo thời gian.

d) Sai. Biên độ của dao động tự do phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu.

Đề bài yêu cầu tính động năng của con lắc lò xo khi biết độ cứng $k$, biên độ $A$, và li độ $x$.

Ta có công thức tính cơ năng của con lắc lò xo: $E = \frac{1}{2}kA^2$.

Công thức tính thế năng của con lắc lò xo tại vị trí có li độ $x$: $U = \frac{1}{2}kx^2$.

Động năng $K$ của con lắc lò xo tại vị trí có li độ $x$ được tính bằng hiệu giữa cơ năng và thế năng: $K = E - U = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$.

Thay số: $k = 80$ N/m, $A = 10$ cm $= 0.1$ m, $x = 2$ cm $= 0.02$ m, ta có:

$K = \frac{1}{2} * 80 * (0.1^2 - 0.02^2) = 40 * (0.01 - 0.0004) = 40 * 0.0096 = 0.384$ J.

Vậy động năng của vật là 0.384 J.

Ta có:

- Chiều dài dây treo: $l = 39,2 \text{ cm} = 0,392 \text{ m}$

- Gia tốc trọng trường: $g = 9,8 \text{ m/s}^2$

- Biên độ góc: $\alpha_0 = 0,05 \text{ rad}$

- Vận tốc: $v = 2,4 \text{ cm/s} = 0,024 \text{ m/s}$



- Tần số góc của con lắc đơn là: $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9,8}{0,392}} = 5 \text{ rad/s}$

- Vận tốc cực đại của con lắc là: $v_{max} = \omega . S_0 = \omega . l . \alpha_0 = 5 . 0,392 . 0,05 = 0,098 \text{ m/s} = 9,8 \text{ cm/s}$

- Áp dụng công thức độc lập thời gian, ta có:

$\left( \frac{v}{v_{max}} \right)^2 + \left( \frac{a}{a_{max}} \right)^2 = 1$

$\Rightarrow a = \sqrt{1 - \left( \frac{v}{v_{max}} \right)^2} . a_{max}$

Với $a_{max} = \omega^2 . S_0 = \omega^2 . l . \alpha_0 = 5^2 . 0,392 . 0,05 = 0,49 \text{ m/s}^2 = 49 \text{ cm/s}^2$

$\Rightarrow a = \sqrt{1 - \left( \frac{2,4}{9,8} \right)^2} . 49 \approx 47,9 \text{ cm/s}^2$



Cách giải nhanh:

Sử dụng công thức: $a = \omega \sqrt{v_{max}^2 - v^2} = \sqrt{\frac{g}{l}} . \sqrt{(\omega l \alpha_0)^2 - v^2} = 5.\sqrt{(0.098)^2 - (0.024)^2} \approx 0.479 m/s^2 = 47.9 cm/s^2$

Gia tốc gần đúng:

$a \approx \omega \sqrt{(\omega l \alpha_0)^2} = 49 cm/s^2$

Gia tốc của con lắc là 0.96 cm/s²

Ta có công thức liên hệ giữa li độ, vận tốc và biên độ:

• $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$

Áp dụng cho hai trường hợp:

• $(30\pi)^2 = \omega^2(A^2 - 4^2)$


• $(40\pi)^2 = \omega^2(A^2 - 3^2)$

Chia hai phương trình, ta được:
$\frac{(30\pi)^2}{(40\pi)^2} = \frac{A^2 - 16}{A^2 - 9} \Rightarrow \frac{9}{16} = \frac{A^2 - 16}{A^2 - 9}$

$9(A^2 - 9) = 16(A^2 - 16) \Rightarrow 9A^2 - 81 = 16A^2 - 256 \Rightarrow 7A^2 = 175 \Rightarrow A^2 = 25 \Rightarrow A = 5 \,\text{cm}$

Thay $A = 5$ vào phương trình $(30\pi)^2 = \omega^2(5^2 - 4^2) = 9\omega^2$ ta được:

$(30\pi)^2 = 9\omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{(30\pi)^2}{9} \Rightarrow \omega = \frac{30\pi}{3} = 10\pi \,\text{rad/s}$

Vậy $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10\pi}{2\pi} = 5 \,\text{Hz}$.

Từ đồ thị ta có:

• Biên độ A = 4 cm
• Chu kì T = 0.5 s => ω = \frac{2\pi}{T} = 4\pi rad/s
• Tại t = 0: x = 2 cm và vật đang đi theo chiều âm nên 2 = 4cos(φ) => cos(φ) = \frac{1}{2} => φ = ± \frac{\pi}{3}. Vì vật đi theo chiều âm nên φ > 0, suy ra φ = \frac{\pi}{3}

Vậy phương trình dao động là x = 4\cos(4\pi t + \frac{\pi}{3}) cm