Câu hỏi:

(3,0 điểm)

3.1. Cho đa thức \(Q\left( x \right) = - 3{x^3} + x - {x^4} - 3 + {x^3} + 4x - 2{x^2}\).

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Chỉ ra hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của đa thức.

c) Tính giá trị của đa thức \(Q\left( {\frac{1}{2}} \right),Q\left( 1 \right),Q\left( { - 1} \right)\).

d) Tìm đa thức \(T\left( x \right)\), biết \(T\left( x \right) - {x^4} + 2{x^3} - 5x = Q\left( x \right)\).

3.2.Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {\left( {x + 2014} \right)^2} + {\left( {y - 2015} \right)^2} + {\left( {z - 2016} \right)^2} + 2017\)

(1,5 điểm)

4.1. Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ bằng \({\rm{4 cm}}\), độ dài đáy lớn gấp đôi độ dài đáy nhỏ. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình thang cân, biết diện tích hình thang cân đó bằng \({\rm{18 c}}{{\rm{m}}^2}\).

4.2. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng \(3{\rm{ cm}}\) và \(7{\rm{ cm}}\)

(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(AC\). Trên đoạn \(BM\) lấy điểm \(K\) sao cho \(MK = \frac{1}{2}KB\). Điểm \(H\) thuộc tia đối của tia \(MK\) sao cho \(BH = 2BK.\) Gọi \(I\) là điểm thuộc cạnh \(AC\) và \(IC = \frac{1}{3}CA\). Đường \(KI\) cắt \(HC\) ở \(E\).

a) Chứng minh \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\) và \(E\) là trung điểm của \(HC.\)

b) Tính các tỉ số \(\frac{{IE}}{{IK}};\frac{{MI}}{{AC}}\)

(0,5 điểm) Chứng minh rằng nếu \(\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}}{\rm{ }}\left( {c + d \ne 0} \right)\) thì \(a = c\) hoặc \(a + b + c + d = 0\)

(1,5 điểm) Tìm \(x,y,z\) trong các tỉ lệ thức sau:

a) \(\frac{x}{{3,2}} = \frac{{2,5}}{{7,2}};\)

b) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = - 32;\)

c) \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}\) và \(x + y + z = 27.\)