Câu hỏi:

Theo đề bài: \(x^2+\frac{8}{x^2}+\frac{y^2}{8}=8\) suy ra \(2 x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{y^2}{4}=16\)

Ta có: \(2 x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{y^2}{4}=\left(x^2+\frac{16}{x^2}-8\right)+\left(x^2+\frac{y^2}{4}-x y\right)+x y+8\)

\(=\left(x-\frac{4}{x}\right)^2+\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+x y+8 .\)

Vì \(\left(x-\frac{4}{x}\right)^2 \geq 0 ;\left(x-\frac{y}{2}\right)^2 \geq 0\) nên \(x y+8 \leq 16\) hay \(x y \leq 8\).

Suy ra \(A=x y+2026 \leq 8+2026=2034\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{array}{l}\left(x-\frac{4}{x}\right)^2=0 \\ \left(x-\frac{y}{2}\right)^2=0\end{array}\right.\) hay \(\left\{\begin{array}{l}x-\frac{4}{x}=0 \\ x-\frac{y}{2}=0\end{array}\right.\) nên \(\left\{\begin{array}{l}x^2=4 \\ y=2 x\end{array}\right.\).

Khi đó, \(x=2 ; y=4\) hoặc \(x=-2 ; y=-4\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 2034 khi \(x=2 ; y=4\) hoặc \(x=-2 ; y=-4\).

Đa thức \(A=x^2+2 y^5-x^4 y^4-1\) có 4 hạng tử là: \(x^2 ; 2 y^5 ;-x^4 y^4 ;-1\).

Hai đơn thức thu gọn là \(A=(0,3+\pi) x^2 y ; D=(\sqrt{2}+1) x y^2 z\) vì hai đơn thức này là dạng tích của một số với những biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần và đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

\((x+y)^2=x^2+2 x y+y^2\) (bình phương của một tổng)

\((x+y)^3=x^3+3 x^2 y+3 x y^2+y^3\) (lập phương của một tổng) 

\(x^3-y^3=(x-y)\left(x^2+x y+y^2\right)\) (hiệu hai lập phương)

\( (x-y)^3=x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3 \) (lập phương của một hiệu) 

Biểu thức \(\frac{x}{0}\) không phải phân thức vì mẫu thức là đa thức không.

Biểu thức \(\frac{x+y}{\frac{1}{y}}\) và \(\frac{1}{\frac{x^2-y^2}{x y}}\) không phải là phân thức thì mẫu thức không phải là đa thức.

Biểu thức \(\frac{x^2+y}{\frac{1}{2} y}\) là đa thức vì \(x^2+y\) và \(\frac{1}{2} y\) đều là đa thức khác đa thức 0.