Câu hỏi:

a) Do \(D, E\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\) trên đường thẳng \(A B, A C\) nên \(M D \perp A B, M E \perp A C\).

Suy ra \(\widehat{A D M}=\widehat{A E M}=90^{\circ}\)

Tam giác \(A B C\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat{B A C}=90^{\circ}\).

Tứ giác \(A D M E\) có \(\widehat{D A E}=\widehat{A E M}=\widehat{M D A}=90^{\circ}\) nên \(A D M E\) là hình chữ nhật.

b) Do \(A D M E\) là hình chữ nhật nên \(D M / / A C\).

Suy ra \(\widehat{B M D}=\widehat{A C B}\) (hai góc so le trong).

Mà \(\widehat{A B C}=\widehat{A C B}=45^{\circ}\) (vì tam giác \(A B C\) vuông cân tại \(A\) ), suy ra \(\widehat{B M D}=\widehat{A B C}=45^{\circ}\).

Do đó tam giác \(B D M\) cân tại \(D\). Suy ra \(B D=D M\).

Chu vi của hình chữ nhật \(A D M E\) là: \(2(A D+D M)=2(A D+B D)=2 A B\).

Mà \(A B\) không đổi nên chu vi của tứ giác \(A D M E\) không đổi.

Theo đề bài: \(x^2+\frac{8}{x^2}+\frac{y^2}{8}=8\) suy ra \(2 x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{y^2}{4}=16\)

Ta có: \(2 x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{y^2}{4}=\left(x^2+\frac{16}{x^2}-8\right)+\left(x^2+\frac{y^2}{4}-x y\right)+x y+8\)

\(=\left(x-\frac{4}{x}\right)^2+\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+x y+8 .\)

Vì \(\left(x-\frac{4}{x}\right)^2 \geq 0 ;\left(x-\frac{y}{2}\right)^2 \geq 0\) nên \(x y+8 \leq 16\) hay \(x y \leq 8\).

Suy ra \(A=x y+2026 \leq 8+2026=2034\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{array}{l}\left(x-\frac{4}{x}\right)^2=0 \\ \left(x-\frac{y}{2}\right)^2=0\end{array}\right.\) hay \(\left\{\begin{array}{l}x-\frac{4}{x}=0 \\ x-\frac{y}{2}=0\end{array}\right.\) nên \(\left\{\begin{array}{l}x^2=4 \\ y=2 x\end{array}\right.\).

Khi đó, \(x=2 ; y=4\) hoặc \(x=-2 ; y=-4\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 2034 khi \(x=2 ; y=4\) hoặc \(x=-2 ; y=-4\).

Đa thức \(A=x^2+2 y^5-x^4 y^4-1\) có 4 hạng tử là: \(x^2 ; 2 y^5 ;-x^4 y^4 ;-1\).

Hai đơn thức thu gọn là \(A=(0,3+\pi) x^2 y ; D=(\sqrt{2}+1) x y^2 z\) vì hai đơn thức này là dạng tích của một số với những biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần và đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

\((x+y)^2=x^2+2 x y+y^2\) (bình phương của một tổng)

\((x+y)^3=x^3+3 x^2 y+3 x y^2+y^3\) (lập phương của một tổng) 

\(x^3-y^3=(x-y)\left(x^2+x y+y^2\right)\) (hiệu hai lập phương)

\( (x-y)^3=x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3 \) (lập phương của một hiệu)