Câu hỏi:

a) Tứ giác \(B M N D\) có: \(M N // B D(M N // B C) ; M N=B D\) (gt).

Do đó, tứ giác \(B M N D\) là hình bình hành. 

b) Vì \(\triangle A B H\) vuông tại \(H(A H \perp B C)\) có \(H M\) là trung tuyến nên \(H M=\frac{1}{2} A B\).

Mà \(M A=\frac{1}{2} A B\) suy ra \(M A=H M\).

Vậy \(\triangle A M H\) cân tại \(M\).

c) Tứ giác \(D H M N\) có \(M N // D H(M N // B C)\) nên tứ giác \(D H M N\) là hình thang.(1)

Ta có \(A H \perp B C ; M N // B C\) nên \(A H \perp M N\).

Vì \(\Delta A M H\) cân tại \(M\) có \(A H \perp M N\) nên \(M N\) là phân giác của \(\Delta A M H\).

Do đó \(\widehat{A M N}=\widehat{H M N}\). 

d) Tứ giác \(B M N D\) là hình bình hành nên \(N D // M B\).

Do đó \(\widehat{A M N}=\widehat{D N M}\) (so le trong) nên \(\widehat{H M N}=\widehat{D N M}\).(2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(D H M N\) là hình thang cân.

Ta có \(x^3-2 x^2+x=0\)

\(x\left(x^2-2 x+1\right)=0\)

\(x(x-1)^2=0\)

\(x=0\) hoặc \((x-1)^2=0\)

\(x=0\) hoặc \(x=1\)

Do đó \(x \in\{0 ; 1\}\).

Vậy có 2 giá trị \(x\) thỏa mãn bài toán.

Với \(x \neq-2 ; x \neq 2 ; x \neq 1\), ta có:

\(\begin{aligned}& A=\frac{x^3-1}{x^2-4} \cdot\left(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}\right) \\& =\frac{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x^2-4} \cdot \frac{1}{x-1}-\frac{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x^2-4} \cdot \frac{x+1}{x^2+x+1} \\& =\frac{x^2+x+1}{x^2-4}-\frac{(x-1)(x+1)}{x^2-4} \\& =\frac{x^2+x+1-\left(x^2-1\right)}{x^2-4} \\& =\frac{x^2+x+1-x^2+1}{x^2-4} \\& =\frac{x+2}{x^2-4}=\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x-2} .\end{aligned}\)

Vậy với \(x \neq-2 ; x \neq 2 ; x \neq 1\), sau khi rút gọn biểu thức \(K\) ta được phân thức có tử thức bằng 1.

Đường cao mặt bên hình chóp chính là trung đoạn \(d=67 \mathrm{~mm}\).

Diện tích xung quanh của khối rubik đó là: \(S_{x q}=\frac{1}{2} \cdot C \cdot d=\frac{1}{2} \cdot 180 \cdot 67=6030~\left(\mathrm{cm}^2\right)\)

Đáy là tam giác đều có cạnh là \(180: 3=60~(\mathrm{cm})\).

Chiều cao của tam giác đáy là 67 cm.

Diện tích toàn phần của khối rubik đó là: \(S_{t p}=6030+\frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 67=8040 ~\left(\mathrm{cm}^2\right)\)

Vậy diện tích toàn phàn (tổng diện tích các mặt) của khối rubik đó là \(8040 \mathrm{~cm}^2\).

Xét tứ giác \(M N P Q\), ta có: \(\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}+\widehat{Q}=360^{\circ}\) (tổng các góc của một tứ giác).

Suy ra \(x+2 x+x+2 x=360^{\circ}\) hay \(6 x=360^{\circ}\) nên \(x=60^{\circ}\).