Câu hỏi:

a) Vì \(A B C D\) là hình vuông nên \(\widehat{D A C}=\widehat{B A D}=\widehat{A B C}=\widehat{A B F}=90^{\circ} ; A D=A B\).

Xét \(\triangle A D E\) và \(\triangle A B F\) có \(\widehat{D A C}=\widehat{A B F}=90^{\circ}(\mathrm{cmt}) ; B F=D E(\mathrm{gt}) ; A D=A B(\mathrm{cmt})\)

Do đó \(\triangle A D E=\triangle A B F\) (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \(A E=A F ; \widehat{D A E}=\widehat{B A F}\).

Ta có \(\widehat{D A E}+\widehat{E A B}=\widehat{B A D}=90^{\circ}\) nên \(\widehat{F A B}+\widehat{E A B}=90^{\circ}\) hay \(\widehat{E A F}=90^{\circ}\).

Xét tam giác \(A E F\) có \(\widehat{E A F}=90^{\circ}\) và \(\widehat{D A E}=\widehat{B A F}\) nên tam giác \(A E F\) vuông cân.

b) Vì tam giác \(A E F\) vuông cân có \(A I\) là đường trung tuyến (vì \(I\) là trung điểm của \(E F\) ) nên \(A I\) cũng là đường cao hay \(A I \perp E F\).

Tam giác \(A E F\) vuông cân có \(A I\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(E F\) nên \(A I=I E=I F=\frac{1}{2} E F\).

Mặt khác, điểm \(K\) đối xứng với \(A\) qua \(I\) nên \(A I=I K\).

Tứ giác \(A E K F\) có \(A I=I K=I E=I F\) nên \(A E K F\) là hình thoi.

Hình thoi \(A E K F\) có \(\widehat{E A F}=90^{\circ}\) nên \(A E K F\) là hình vuông.