Câu hỏi:

a) Vì \(A B C D\) là hình vuông nên \(\widehat{D A C}=\widehat{B A D}=\widehat{A B C}=\widehat{A B F}=90^{\circ} ; A D=A B\).

Xét \(\triangle A D E\) và \(\triangle A B F\) có \(\widehat{D A C}=\widehat{A B F}=90^{\circ}(\mathrm{cmt}) ; B F=D E(\mathrm{gt}) ; A D=A B(\mathrm{cmt})\)

Do đó \(\triangle A D E=\triangle A B F\) (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \(A E=A F ; \widehat{D A E}=\widehat{B A F}\).

Ta có \(\widehat{D A E}+\widehat{E A B}=\widehat{B A D}=90^{\circ}\) nên \(\widehat{F A B}+\widehat{E A B}=90^{\circ}\) hay \(\widehat{E A F}=90^{\circ}\).

Xét tam giác \(A E F\) có \(\widehat{E A F}=90^{\circ}\) và \(\widehat{D A E}=\widehat{B A F}\) nên tam giác \(A E F\) vuông cân.

b) Vì tam giác \(A E F\) vuông cân có \(A I\) là đường trung tuyến (vì \(I\) là trung điểm của \(E F\) ) nên \(A I\) cũng là đường cao hay \(A I \perp E F\).

Tam giác \(A E F\) vuông cân có \(A I\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(E F\) nên \(A I=I E=I F=\frac{1}{2} E F\).

Mặt khác, điểm \(K\) đối xứng với \(A\) qua \(I\) nên \(A I=I K\).

Tứ giác \(A E K F\) có \(A I=I K=I E=I F\) nên \(A E K F\) là hình thoi.

Hình thoi \(A E K F\) có \(\widehat{E A F}=90^{\circ}\) nên \(A E K F\) là hình vuông.

Ta có \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(a b+b c+c a)\).

Suy ra \(0^2=1+2(a b+b c+c a)\).

Do đó \(a b+b c+c a=-\frac{1}{2}\).

Khi đó \(A=a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2 b^2+b^2 c^2+c^2 a^2\right)\)

\(\begin{aligned}& =\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left[(a b)^2+(b c)^2+(c a)^2\right] \\& =\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left[(a b+b c+c a)^2-2 a b c(a+b+c)\right]\end{aligned}\)

Vậy \(A=\frac{1}{2}\).

Vì đơn thức \(\frac{1}{3} x^4 y^3\) có dạng tích của một số với những biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần và đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương nên đơn thức \(\frac{1}{3} x^4 y^3\) là đơn thức thu gọn.

Đơn thức \(30 x^2 y^3\) chia hết cho đơn thức \(60 x y\) (vì số mũ ở mỗi biến của đơn thức \(30 x^2 y^3\) đều lớn hơn số mũ ở mỗi biến của đơn thức \(60 x y\) ).

Đẳng thức \(a(a+1)=a^2+a\) là hằng đẳng thức.

Các đẳng thức \(3 a+1=a+3 ; a+3=3 a-1 ; 2(a-2)=4 a\) không phải là hằng đẳng thức (vì khi ta thay \(a=0\) thì hai vế của mỗi đẳng thức không bằng nhau).