Câu hỏi:

a) Ta có \(A=2 x y\left(x y^2-3 x^2 y+1\right)\)

\(=2 x^2 y^3-6 x^3 y^2+2 x y.\)

Đa thức A có bậc là 8. 

b) Ta có \(B=\left(12 x^4 y^5-36 x^5 y^4+6 x^3 y^3\right): 6 x^2 y^2\)

\(\begin{aligned}& =12 x^4 y^5:\left(6 x^2 y^2\right)-36 x^5 y^4:\left(6 x^2 y^2\right)+6 x^3 y^3:\left(6 x^2 y^2\right) \\& =2 x^2 y^3-6 x^3 y^2+x y\end{aligned}\)

Khi đó, hệ số tự do của đa thức B là 0. 

c) Thay \(x=-1 ; y=1\) vào biểu thức B, ta có:

\(B=2 \cdot(-1)^2 \cdot 1^3-6 \cdot(-1)^3 \cdot 1^2+(-1) \cdot 1=2+6-1=7 .\)

Vậy với \(x=-1 ; y=1\) thì B = 7. 

d) Ta có \(A=M+B\). Suy ra \(M=A-B\)

\(\begin{aligned}& =2 x^2 y^3-6 x^3 y^2+2 x y-\left(2 x^2 y^3-6 x^3 y^2+x y\right) \\& =2 x^2 y^3-6 x^3 y^2+2 x y-2 x^2 y^3+6 x^3 y^2-x y \\& =\left(2 x^2 y^3-2 x^2 y^3\right)+\left(-6 x^3 y^2+6 x^3 y^2\right)+(2 x y-x y)=x y\end{aligned}\)

Như vậy, M là một đơn thức. 

a) Tứ giác \(A H K C\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm \(I\) của mỗi đường nên là hình bình hành nên

\(\widehat{H K C}=\widehat{H A C}\). 

b) Xét tứ giác \(A M H N\) có \(\widehat{A M H}=\widehat{M A N}=\widehat{A N H}=90^{\circ}\)

Do đó tứ giác \(A M H N\) là hình chữ nhật.

c) Khi đó \(O A=O N=O M=O H\) nên \(\triangle O M H\) cân tại \(O\).

Suy ra \(\widehat{O M H}=\widehat{O H M}\) mà \(\widehat{H K C}=\widehat{O H M}\) (so le trong) nên \(\widehat{H K C}=\widehat{O M H}\).

Mặt khác \(\widehat{H K C}=\widehat{H A C}\) (chứng minh ý a) nên \(\widehat{O M H}=\widehat{H K C}\).

Hình thang \(M N C K\) có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân. 

d) Vì \(\triangle A H C\) có hai đường trung tuyến \(A I, C O\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trọng tâm nên \(A D=\frac{2}{3} A I\) mà \(A I=\frac{1}{2} A K\).

Thay vào ta được \(A D=\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} A K=\frac{1}{3} A K\) nên \(A K=3 A D\). 

\(\begin{aligned}&  V=(2 x-1)^3-2(x-2)\left(4 x^2+2 x+7\right)-15 \\& =8 x^3-12 x^2+6 x-1-(2 x-4)\left(4 x^2+2 x+7\right)-15 \\& =8 x^3-12 x^2+6 x-1-8 x^3-16 x^2+4 x^2-8 x-14 x+28-15 \\& =\left(8 x^3-8 x^3\right)+\left(4 x^2-16 x^2-12 x^2\right)+(6 x-8 x-14 x)+(28-15-1)\\&=12\end{aligned}\)

Với \(x \neq 0 ; x \neq-1 ; x \neq \frac{1}{2}\), ta có:

\(\begin{aligned}& D=\left(\frac{x+2}{3 x}+\frac{2}{x+1}-3\right): \frac{2-4 x}{x+1}-\frac{3 x-x^2+1}{3 x} \\& =\frac{(x+2)(x+1)+2 \cdot 3 x-3 \cdot 3 x(x+1)}{3 x \cdot(x+1)} \cdot \frac{x+1}{2-4 x}-\frac{3 x-x^2+1}{3 x} \\& =\frac{x^2+2 x+x+2+6 x-9 x^2-9 x}{3 x(x+1)} \cdot \frac{x+1}{2-4 x}-\frac{3 x-x^2+1}{3 x} \\& =\frac{-8 x^2+2}{3 x(x+1)} \cdot \frac{x+1}{2-4 x}-\frac{3 x-x^2+1}{3 x} \\& =\frac{2\left(1-4 x^2\right) \cdot(x+1)}{3 x(x+1) \cdot(2-4 x)}-\frac{3 x-x^2+1}{3 x} \\& =\frac{2(1-2 x)(1+2 x)}{3 x \cdot 2(1-2 x)}-\frac{3 x-x^2+1}{3 x} \\& =\frac{1+2 x}{3 x}-\frac{3 x-x^2+1}{3 x}=\frac{1+2 x-3 x+x^2-1}{3 x} \\& =\frac{x^2-x}{3 x}=\frac{x(x-1)}{3 x}=\frac{x-1}{3}\end{aligned}\)

Vậy với \(x \neq 0 ; x \neq-1 ; x \neq \frac{1}{2}\), sau khi rút gọn biểu thức \(D\) ta được phân thức có mẫu thức bằng 3.

Diện tích miếng bìa cần để bọc xung quanh chậu cây là: \(\frac{{4 \cdot 3}}{2} \cdot 6 = 36{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Vậy diện tích miếng bìa cần để làm chậu cây hình chóp tam giác đều là \(36\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).